4A5: Pengukuran Gejala Pusat

Diajukan sebagai tugas mata kuliah

“Statistik 1”

Restawanu Fika

Semester/kelas         : 4/A.5

Dosen            : Yenni, M.Pd.

Program Studi Bahasa Inggris

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah

Tangerang

2013

Rangkuman Materi Statistik: Ukuran Gejala Pusat

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data mengenai sesuatu persoalan, baik mengenai sampel ataupun populasi, selain daripada data itu disajikan dalam tabel dan diagaram, masih diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil kumpulan data tersebut yaitu ukuran gejala   pusat dan ukuran letak. Beberapa macam ukuran pusat adalah : rata-rata atau rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonik, dan modus. Ukuran letak meliputi : median, kuartil desil dan persentil

Ukuran gejala pusat diantaranya: nilai rata-rata Modus, median dan ukuran gejala letak lainnya.

1.      Rata-rata atau lenkapnya rata-rata hitung, untuk data kuantitatif yang terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data oleh banyak data disimpulkan dengan  (baca: x bar) sedangakan rata-rata untuk populasi dipakai simbul  (baca miu).jadi  adalah statistik sedangkan  parameter. Jika ada data x₁, x₂, x₃, …x_n, maka rata-rata hitungnya () adalah :

             atau secara sederhana ditulis

Contoh Rata dari lima nilai ujian 70, 69, 45, 80, dan 56 ialah :

           

      Jika ada data x₁, x₂, x₃, …x_n masing-masing muncul sebanyak f₁, f₂, f₃,…,f_n maka rata-rata hitungnya () adalah :

                atau secara sederhana ditulis :

              Rumus ini disebut juga rumus rata-rata dibobot.

2.      Modus disingkat Mo, ukuran yang menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat. Untuk data kuantitatif ditentukan dengan jalan menentukan frekuensi terbanyak di antara data itu. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk menentukan “rata-rata” data kualitatif. Jika kita dengan atau baca: kebanyakan kematian di Indonesia disebabkanoleh penyakit malaria, pada umumnya kecelakaan lalu lintas karena kecerobohan pengemudi, maka ini tiada lain masing-masing merupakan modus penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas.

Contoh : Terdapat sampel dengan nilai-nilai data :

12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14. Dalam tabel dapat disusun seperti dibawah ini :

Frekuensi terbanyak, ialah f = 4, terjadi untuk data bernilai 34. Maka modus Mo = 34.

Tabel 3.6

xi	fi
12 14 28 34	1 2 2 4

Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, modusnya dapat ditentukan:  Mo = b + p

Untuk:

b  = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi   terbanyak.

P  = panjang kelas modal.

b₁= frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya.

b₂= frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya.

Contoh: Untuk mencari modus Mo data tabel 3.2 , maka diperoleh :

Kelas modus = kelas kelima = 71 - 80 b = 70,5 b1 =  25 – 15 = 10 b2 = 25 – 20 = 5 p = 10. Mo = 70,5 + (10)  = 77,17

DAFTAR 3.7

Kelembaban (x)	F
31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100	1 2 5 15 25 20 12
Jumlah	80

Setelah data disusun menurut nilainya dan jika banyak: Data ganjil, maka median Me, , merupakan data paling  tengah. Untuk sampel berukuran genap, setelah data disusun menurut urutan nilainya, mediannya sama dengan rata-rata dihitung dua data tengah.

Untuk data yang  telah disusun dalam daftar distribusi frekuensinya, mediannya dihitung dengan rumus Me = b + p

Kuartil, Desil dan Persentil

Kuartil, adalah nilai yang membagi sekelompok data menjadi 4 bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan nilainya. Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat K_1, K₂, K₃. Pemberian nama ini dimulai dari kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil :

1. susun data menurut urutan nilainya
2. tentukan letak kuartil
3. tentukan nilai kuartil

Letak K₁= data ke , dengan I = 1,2, 3

q  Contoh :

Sampel dengan data 75  82  66  57  64  56  92  94  86  52  60  70 setelah disusun menjadi : 52  56  57  60  64  66  70  75  82  86  92  94

Ø  Letak K₁ = data ke =data ke 3 1/4

K₁ = data ke 3 + ¼ (data ke 4 – data ke 3)

              = 57 + ¼ (60 – 57) = 57 ¾.

Ø  Letak K₃ = data ke  data ke 9 ¼.

  K₃ = data ke-9 + ¾ (data ke-10 – data  ke 9)

       = 82 + ( ¾ )(86-82) = 85

q  Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, kuartil K_i (i = 1, 2, 3) dihitung dengan rumus :

K_i = b + p , dengan i = 1,2, 3

Dengan :

b = batas bawah kelas K_i, ialah kelas interval di mana K_i akan terletak.

p = panjang kelas K_i

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas K_i

f = frekuensi kelas K_i

Desil, yaitu nilai yang membagi sekumpulan data menjadi 10 bagian yang sama setelah dta itu diurutkan. Karenanya ada sembilan buah desil ialah desil pertama, desil kedua,……, desil kesembilan yang disingkat dengan D_1, D_2,……….D_3.

 Desil- desil ini dapat ditentukan dengan jalan.

1. susun data menurut urutan nilainya
2. tentukan letak desil
3. tentukan nilai desil

Letak desil ditentukan oleh rumus :

Letak D_i = data ke ,dengan i = 1, 2, 3 ……, 9

Contoh :

Untuk data yang telah disusun dalam contoh terdahulu ialah 52  56  57  60  64  66  70  75  82  86  92  94, maka letak D₇ = data ke data ke 9,1.

Nilai D₇ = data ke-9 + (0,1) (data ke-10 – data ke 9) atau D₇ = 82 + (0,1) (86 – 82) = 82,4.

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, nilai D_i (i = 1,2, ….., 9) dihitung dengan rumus :

D_i = b + p , dengan i = 1, 2, 3 …

Dengan :

b = batas bawah kelas D_i,

p  = panjang kelas D_i

F = jumlah frekuensi sebelum kelas D_i

f = frekuensi kelas D_i.

Jika sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan menghasilkan 99 pembagi yang berturut-turut dinamakan persentil pertama, persentil kedua,……., persentil ke 99. Simbol yang digunakan berturut-turut P₁, P₂ …….., P_99.

Karena cara perhitungannya sama seperti perhitungan desil, maka disini hanya diberikan rumus-rumusnya letak persentil P_i (I = 1,2,3 ….., 99) untuk sekumpulan data ditentukan oleh rumus : Letak P_i = data ke , dengan i = 1, 2, 3 ……, 99

Untuk nilai P_i untuk data dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan :

P_i = b + p , dengan i = 1, 2, 3 …..,99

Dengan :

b = batas bawah kelas D_i, p  = panjang kelas D_i

F = jumlah frekuensi sebelum kelas D_i

f = frekuensi kelas D_i.

DAFTAR PUSTAKA

Ø  Rahayu Kartadinata dan Maman Abdurahman. 2012. Dasar-Dasar Statistik Pendidikan. CV Pustaka Setia: Bandung.

Ø  Sugiyono. 2006. Statistik Untuk Penelitian. CV ALFABETA: Bandung.

  

4A5 : Uji Normalitas

Pengujian persyaratan analisis

(Elis, Nindia, Romlah)

Dalam rangka menentukan statistik uji mana yang perlu digunakan, apakah menggunkan uji statistik parametrik atau non parametrik , perlu dilakukan uji persyaratan analisis atau uji perlanggaran klasik. Pengujiaan dengan statistik inferensial parametrik mensyaratkan beberapa hal  , seperti uji normalitas . selain itu uji statistik paramatik pun mensyaratkan  data yang di analisis harus bersekala interval atau rasio , serta pengambilan sample harus dilakukan secara random.

Uji Normalitas

Pengujian normalitas di lakukan untuk mengetahui normal tindakan suatu distribusi data. Hal  gunakan .karewna uji statistik parametrik mensyaratkan data yang harus berdistribusi normal. Apabila berdistribusi tidak normal  maka di sarankan untuk menggunakan  uji statistik nonparametrik , bukan uji statistik parametrik.

            Uji normalitas dap[at dilakukan  dengan beberapa cara  , antara lain: dengan menafsirkan grafik ogive koefesien tingkat kemencengan , uji Liliefors, uji Chi-Kuadrat , atau lainnya .

            Penentuan normal atau tidaknya suatu distribusi data  dengan grafis ogive  hanya dilakukan dengan menafsirkan grafik , yaitu :

ü  Apabila gerafik ogive lurus atau hampir lurus maka distribusi data ditafsirkan berdistribusi normal :

ü  Sedangkan jika tidak lurus ditafsirkan data tidak berdistribusi normal.

Penelitian normal atau tidaknya suatu distribusi suatu distribusi data dengan koefisien kemencengan yang dilakukan dengan cara  menghitung koefisien skewnss atau tingkat  kemencengan  (TK) , yaitu :

ü  Apabila , -2< TK< 2, data ditafsirkan berdistribusi normal ;

ü  Sedangkan harga TK  lainnya , data ditafsirkan berdistribusi tidak normal .

Jadi penentuan kenormalan distribusi data dengan cara grafik ogive atau menghitung koefisien skewness   hanya berlaku untuk  statistik deduktif (deskriptif). Penentuan kenormalan suatu distribusi data statistik induktif harus  dilakukan dengan pengujian . dalam statistik induktif dilakukan pengujiaan , normal atau tidak. Penentuan kenormalan suatu distribusi data dapat dilakukan dengan cara pengujian Liliefors atau Chi-Kuadrat.

1.      Uji Lilliefors

Uji normalitas dengan uji  liliefors dilakukan apabila data merupakan data tunggal atau data frekwensi tunggal, bukan data distribusi frekwensi tunggal, bukan data distribusi frekwensi kelompok. Uji normalitas menggunakan uji liliefors (Lo) dilakukan dengan langkah-langkah misalkan pada α=5% (0,05) dengan hipotesis yang akan diuji:

H_{0 :} Sampel berasal dari Populasi berdistribusi normal, melawan

H₁ : sampel tidak berasal dari populasi berdistribusi normal dengan criteria pengujian:

Jika Lo=L _hitung <L _Tabel terima H₀ dan

Jika Lo= L _hitung >L _Tabel tolak H₀

Kedua, lakukan langkah-langkah pengujian normalitas berikut:

a.       Data pengamatan Y_1, y₂, Y₃ ,…..y_n dijadikan bilangan baku z₁, z₂, z₃,…..,z_n dengan menggunakan rumus.

z_i =(Y –Y)

                                                                                  s

( dengan Y dan s masing-masing merupakan rerata dan simpangan baku)

b.      Untuk setiap bilangan baku ini dengan menggunakan daftar distribusi normal baku, kemudian dihitung peluang.

F(z_i) = P (z ≤ z_i)                                                                                                           (4.2)

c.       Selanjutnya dihitiung proporsi z_i, z₂, z₃,………, z­_{n yang lebih kecil atau sama dengan} z_1. Jika prpoporsi ini dinyatakan oleh S (z_i) maka:

S(z_i)=banyaknya z₁, z₂, z₃,…..,z_n

                                    n                                                                                                

d. Hitung elisih F (z_i)- S (z_i), kemudian tentukan harga mutlaknya.

e. ambil harga yang paling besar di antara harga-harga mutlak selisih tersebut, sebagai harga L ₀ atau L_hitung.

untuk menerima atau menolak hitpotesis nol (H_0), dilakukan dengan cara membandingkan L ₀ ini dengan nilai L _Kritis atau L _label Yang didapat dari table Liliefors utnuk taraf nyata (signifikansi) yang dipilih, misal α =0,05. Untuk mempermudah perhitungan dibuat dalam bentuk table.

Contoh 4.1

Lakukan uji normalitas dari hasil pengumpulan data suatu sample seperti berikut:

2          3          4          2          4          3          5          4

5          5          6          6          6          5          5          9

6          6          8          8          8          8          9          9

Jawab:

Sajikan data tersebut dalam table dan diurutkan, lalu hitung rerata (mean) dan simpangan baku seperti berikut:

Tabel 4.1 tabel deskriptif

No.	Y i	F i	fi.Yi	(Y –Y)2	f. (Y –Y)2
1	2	2	4	13.4	26.9
2	3	2	6	7.1	14.2
3	4	3	12	2.8	8.3
4	5	5	25	0.4	2.2
5	6	5	30	0.1	0.6
6	8	4	32	5.4	21.8
7	9	3	27	11.1	33.3
		24	136		107.3

Sehingga didapat, mean = Y = 5,7

                                               

Dan simpangan baku = s= = 2.2

                                                     n-1

selanjutnya , lakukan konversi setiap nilai mentah Yi menjadi nilai baku Zi, dan selanjutnya tentukan Lo dengan langkah-langkah seperti berikut:

Tabel 4.2 tabel uji Lilliefors

No.	Yi	fi	fkum≤	Zi	ztabel	F(Zi)	S(zi)	I F(Zi)- S(zi) I
1	2	2	2	-1,70	0,4554	0,0446	0,0833	0,0387
2	3	2	4	-1,23	0,3907	0,1093	0,1667	0,0574
3	4	3	7	-0,77	0,2794	0,2206	0,2917	0,0711
4	5	5	12	-0,31	0,1217	0,3783	0,5000	0,1217
5	6	5	17	-0,15	0,0596	0,5596	0,7083	0,1487
6	8	4	21	-1,08	0,3599	0,8599	0,8750	0,0151
7	9	3	24	-1,54	0,4382	0,9382	1,0000	0,0618
		24

Dari hasil perhitungan dalam table tersebut, didapat hasil Lo = 0,1487; sedangkan dari table Lilliefors untuk α = 0,05 dan n = 24 didapat = 0,173. Karena nilai Lo < , maka H0 diterima dan disimpulkan “data sampel berasal dari populasi berdistribusi normal”.

2. Uji Chi-Kuadrat

            Uji normalitas dengan chi kuadrat  dipergunakan untuk menguji data dalam bentuk data kelompok dalam table distribusi. Seperti halnya uji Liliefors, uji normalitas dengan uji Chi-Kuadrat dilakukan dengan langkah-langkah:

            Pertama-tama diawali dengan menentukan taraf signifikansi, misalkan α = 0,05 untuk menguji hipotesis:

-                : Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal, melawan

-                : Sampel tidak berasal dari populasi berditribusi normal dengan criteria pengujian:

-          Jika  <  diterima , dan

-          Jika  >  tolak , dan

                 Kedua lakukan langkah-langkah uji normalitas dengan chi kuadrat  sebagai berikut :

a.       Membuat daftar distribusi frekuensi dari data yang berserakan kedalam distribusi frekuensi data kelompok (jika data belum disajikan dalam table distribusi frekwensi kelompok)

b.      Mencari rerata (mean) data kelompok.

c.       Mencari simpangan baku data kelompok.

d.      Tentukan batas nyata (tepi kelas) tiap interval kelas dan jadikan sebagai

 

Kemudian lakukan konversi, setiap tepi kelas   menjadi nilai baku . Dimana nilai baku   ditentukan dengan rumus

e.       Tentukan besar peluang setiap Z berdasarkan tabel Z (luas lengkungan dibawah Kurva Normal Standar dari 0 ke Z, dan disebut dengan .

f.       Tentukan luas tiap kelas interval dengan cara mengurangi nilai  yang lebih besar diatas atau dibawahnya.

g.       Tentukan fe (frekwensi ekspektasi) dengan cara membagi luas kelas tiap interval dibagi number of cases (n/banyaknya sample).

h.      Masukan frekuensi observasi (faktual) sebagai fo.

i.        Cari nilai setiap interval.

j.        Tentukan nilai  setiap interval.

k.      Tentukan nilai  pada taraf signifikansi α dan derajat kebebasan (dk) = K-1 dengan K = banyaknya kelas/kelompok interval.

l.        Bandingkan jumlah total  dengan 

m.    Apabila  <  maka sampel berasal dari populasi yang berdistribusi Normal, dan jika  >  maka sampel berasal dari populasi tidak normal.

Contoh 4.2

Lakukan pengujian, untuk mengetahui apakah data dalam table distribusi frekwensi berasal dari populasi berdistribusi normal atau tidak

Tabel 4.3 Distribusi Frekuensi

Interval	F
30 – 39	5
40 – 49	10
50 – 59	20
60 – 69	25
70 – 79	15
Σ	75

Jawab :

Langkah pertama, hitunglah nilai mean dan simpangan baku data tersebut seperti berikut :

Tabel 4.4 Tabel Distribusi Frekuensi

Interval
30 – 39	5	34,5	172,5	608,44	3042,2
40 – 49	10	44,5	445,0	215,11	2151,1
50 – 59	20	54,5	1090,0	21,78	435,6
60 – 69	25	64,5	1612,5	28,44	711,1
70 – 79	15	74,5	1117,5	235,11	3526,7
Σ	75		4438		9866,7

Dari data di atas didapat, nilai mean =  = 59,2

dan simpangan baku =   = 11,5

Selanjutnya, tentukan nilai tepi kelas atas dan bawah setiap interval kelas, lalu kemudian konversilah setiap nilai tepi kelas tersebut menjadi nilai baku, dan seterusnya tentukan nilai  , seperti disajikan dalam table berikut :

Tabel 4.5 Tabel Hitung Chi Kuadrat

Interval	Fo	Tepi Kls ()			F(Zi)	Li	F
		29,5	-2,57	0,4999	0,0001
30 – 39	5					0,0054	0,4050	52,13
		39,5	-1,70	0,4945	0,0055
40 – 49	10					0,1001	7,5075	0,83
		49,5	-0,84	0,3944	0,1056
50 – 59	20					0,4104	30,7800	3,78
		59,5	0,03	0,016	0,5160
60 – 69	25					0,3922	29,4150	0,66
		69,5	0,89	0,4082	0,9082
70 – 79	15					0,0875	6,5625	10,85
		79,5	1,76	0,4957	0,9957
Σ	75					1,00	75	68,25