MODEL PERKEMBANGAN USAHA

MatematikaEkonomi

Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret  hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori Baris dan Deret.Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode keperiode berikutnya.

Dasar Teori Deret  Hitung

Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Rumus Suku ke-n dari Deret Hitung

Suku ke-n dari suatu Deret Hitung dirumuskan sebagai berikut :

U_n = a + (n – 1)b

Rumu sJumlah n Suku

Jumlah sebuah Deret Hitung dengan suku tertentu dirumuskan sebagai berikut :

S_n  = n/2 (a + U_n)

Contoh Soal yang Berkaitan dengan Baris dan Deret dalam Model Perkembangan Usaha

1.      Perusahaan genteng “Sokajaya” menhasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan , yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?

Jawab :

a = Suku Pertama= 3.000

b = Pembeda         =    500

n     =         5

Hasil Bulan Ke-5

 U₅       = a + (n – 1 )b

=  3.000 + (5 – 1 ) 500

=  3.000 + 2.000

=  5.0000

Jadi hasil produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 genteng

Jumlah Produksi genteng sampai bulan ke-5

S₅  =n/2 (a + U₅ )

= 5/2  (3.000 + 5.000)

=  5/2  ( 8.000)

=  20.000

Jadi jumlah produksi henteng selama lima bulan adalah 20.000

2.      Besarnya penerimaan P.T Ccemerlang dari hasil  penjualanbarangnya Rp. 720 Juta pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung berapa perkembangan penerimaannya pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Juta?

Jawab :

PenerimaanTahun Ke-5 :  U₅   = 720

U₅    = a + (5 – 1 )b

720 = a + 4b

PenerimaanTahun Ke-7 : U₇ =  980

U₇    = a + (7 – 1) b

980 = a +6b

a + 4b = 720

a + 6b = 980

-2b = -260

    b = 130 

a + 4b = 720

a + 4.130 = 720

a   = 720 – 520

a  = 200

Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp. 200 Juta

PenerimaanTahun Ke-n = 460

U_n  = a + (n – 1) b

460 = 200 + ( n – 1 )130

260 = 130n – 130

390 = 130n

     n = 3

Jadi jumlah penerimaan sebesarRp. 460 juta terjadi pada tahun ketiga

3.      Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?

Jawab :

Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12

U₁₂= a + (n – 1) b

= 5.000 + (12 – 1) 300

= 5.000 + (11) 300

= 5.000 + 3.300 = 8.300

Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik

Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.

S₁₂= n/2 (a + U₁₂)

= 12/2 (5.000 + 8.300)

= 6 (13.300)

      = 79.800

4.      Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil penjualannya sebesar Rp. 1,2miliar pada tahun kelima dan sebesar Rp. 1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabila  perkembangan penerimaan perusahaan  tersebut konstan dari tahun ketahun, berapakah perkembangan penerimaannya per tahun, berapakah penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya mencapai Rp. 2,7miliar ?

Jawab :

S₇ = 1,8miliar              1,8 = a + 6b

S₅ = 1,2miliar              1,2 = a + 4b  -

0,6 = 2b

b = 0,3miliar

Sehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun :Rp. 300.000.000, Adapun  penerimaan pada tahun pertama adalah :

a + 4b              = 1,2

a + 4(0,3)         = 1,2

a + 1,2             = 1,2

a                      = 0

Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan sebesar 2,7 miliar diterimanya pad atahun :

S_n                     = a + (n-1) b

2,7                   = 0 + (n-1) 0,3

2,7                   = 0 + 0,3n – 0,3

2,7 + 0,3          = 0,3n

            n = 3 / 0,3

n = 10

Jadi penerimaan sebesar Rp. 2,7 miliar diterima perusahaan pada tahun ke-10