Senin, 31 Desember 2012

Tenik Pengumpulan Data

Istilah lain untuk pengumpulan data adalah instrumen. Ada berbagai teknik pengumpulan data, diantaranya wawancara, angket dan pengamatan.
Teknik pengamatan dan wawancara adalah teknik yang bertumpu pada faktor manusia sebagai alat pengumpul data atau human as inquirer. Menurut Guba and Lincoln, ada beberapa karakteristik utama atau keunggulan utama atau peneliti itu sendiri seagai instrumen, yang sekaligus membedakannya dari instrumen lain seperti angket dan tes. Karakteristik ini juga menjadi alasan kenapa kedua teknik yaitu wawancara dan pengamatan merupakan teknik yang favourable bagi peneliti kualitatif.karakteristk tersebut antara lain : Responsiveness, adaptability, holistic emphasis, knowledge base expansion, procesual immediacy, opportunities for clarification and summarization, and opportunity ti explore atypical or idiosyncraatic responses.
Responsiveses, manusia sebagai alaat pengunpul data harus bersifat tanggap terhadap orang dan lingkungan yang menjadi informan penelitian.
Adaptability, kelebihan manusia sebagau alat pengumpul data adalah adanya kemampuan menyesuaikan diri dengan lingkungan.
Holistic emphasis. Peneliti sebagai instrumen pengumpul data dapat melihat lebih banyak dari hanya objek yang telah ditetapkan untuk diamati.
Knowledge base expansion. peneliti sebagai alat pengumpul data mungkin menemukan pengetahuan baru diluar pengetahuan proporsional yang telah dimilikinya.
Procesual immediacy. Peneliti sebagai instrumen pengumpul data dapat dengan segera mengolah data yang diperoleh, bahkan waktu masih berada dilapangan.
opportunities for clarification. Peneliti sebagai instrumen juga memiliki kesempatan untuk menklarifikasi data yang diberikan informan dan juga sekaligus meringkas ide tersebut bila diperlukan.
opportunity ti explore atypical or idiosyncraatic responses.Terakhir, peneliti sebagai instrumen pengumpul data mempunyai kesempatan mengorek data dari individu-individu yang mempunyai keahlian tertentu, yang mempunyai peran dan persepsi yang unik, atau yang muhgkin memberikan respon yang sangat berbeda dari mayoritas informan.

Sumber : Metode Penelitian pendidikan, Drs. Hadeli, M. A

Minggu, 30 Desember 2012

Universitas di Indonesia


Berikut adalah peringkat 50 besar perguruan-perguruan tinggi di Indonesia, seperti dimuat pada situs Webometrics :
1. Universitas Gadjah Mada (peringkat 379 dunia) 
2. Universitas Indonesia (peringkat 507 dunia) 
3. Institut Teknologi Bandung (568 dunia)
4. Institut Teknologi Sepuluh Nopember (582 dunia)
5. Universitas Pendidikan Indonesia (630 dunia)
6. Universitas Gunadarma (740 dunia)
7. Institut Pertanian Bogor (764 dunia)
8. Universitas Brawijaya (837 dunia)
9. Universitas Sebelas Maret (883 dunia)
10. Universitas Diponegoro (948 dunia)
11. Universitas Airlangga (988 dunia)
12. Universitas Padjajaran (990 dunia)
13. Universitas Hasanuddin (1.230 dunia)
14. Universitas Sriwijaya (1.263 dunia)
15. Universitas Mercu Buana (1.277 dunia)
16. Universitas Negeri Malang (1.435 dunia)
17. Universitas Islam Indonesia (1.463 dunia)
18. Universitas Muhammadiyah Malang (1.492 dunia)
19. Universitas Muhammadiyah Yogyakarta (1.543 dunia)
20. Universitas Kristen Petra (1.564 dunia)
21. Universitas Komputer Indonesia/UNIKOM (1.637 dunia)
22. Universitas Ahmad Dahlan (1.652 dunia)
23. Universitas Bina Nusantara (1.666)
24. Universitas Udayana (1.668)
25. Universitas Muhammadiyah Surakarta (1.687)
26. Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang (1.734)
27. Universitas Andalas (1.751)
28. Universitas Lampung (1.765)
29. Universitas Sumatera Utara (1.853)
30. Universitas Negeri Yogyakarta (1.854)
31. Universitas Katolik Indonesia Atma Jaya (2.084)
32. Universitas Esa Unggul (2.121)
33. Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer AMIKOM (2.284)
34. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (2.365)
35. Universitas Negeri Semarang (2.397)
36. Universitas Surabaya (2.428)
37. Universitas Trisakti (2.443)
38. Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Jakarta (2.764)
39. Universitas Narotama (2.809)
40. Universitas Pendidikan Ganesha (2.884)
41. Universitas Dian Nuswantoro (2.987)
42. Universitas Terbuka (3.000)
43. Universitas Jenderal Soedirman (3.182)
44. Institut Sains & Teknologi Akprind (3.322)
45. Institut Teknologi Telkom (3.451)
46. Universitas Negeri Papua (3.497)
47. Institut Agama Islam Negeri Sunan Ampel (3.665)
48. Universitas Pancasila (3.665)
49. Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim (3.717)
50. Universitas Negeri Padang (3.725)

sumber : http://www.webometrics.info/en/Asia/Indonesia%20

Matematika 5A1 : Homomorfisme


HOMOMORFISME
                              NAMA :
DESSY NURMALASARI (10.84 – 202.  )
LARAS AMALIA (10.84 – 202.024)
RIADLUSSHOLIHAH (10.84 – 202. 034)
RIA RIZKIA (10.84 – 202. 143)           

SEMESTER 5/ KELAS A1
FKIP/MATEMATIKA
TUGAS STRUKTUR ALJABAR
DOSEN : YENNI, M. Pd


UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG
Jl. Perintis Kemerdekaan 1/33 Cikokol - Tangerang

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI………………………………………………………………………..2
HOMOMORFISME………………………………………………………………...3
1.      Pengertian Homomorfisme…………………………………………………..3
2.      Definisi dan Teorema Homomorfism.……………………………………….3
3.      Latihan……………………………………………………………………....15

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………16




  
HOMOMORFISME

1.      Pengertian Homomorfisme
Homomorfisme merupakan struktur peta yang menghubungkan dua struktur aljabar. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma natural.
Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang mengawetkan operasi aljabar. Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari tentang alih ragam linier ( linier transformation ). Fungsi ini T : V ® W mengawetkan penjumlahan dan pergandaan skalar.  

2.      Definisi dan Teorema Homomorfisme
Definisi :
Diketahui pemetaan/fungsi  f : A ® B.  Fungsi f dikatakan surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y  Î B terdapat x Î A sehingga  y = f(x).
Contoh :
Diketahui fungsi f : R ® R dengan f(x) = x.  Fungsi f merupakan fungsi yang surjektif. Sedangkan fungsi f : R ® R dengan f(x) = x2 bukan fungsi surjektif karena -2 Î R tetapi tidak ada  x Î R sehingga  f(x) = x2 = -2.

Definisi :
Diketahui pemetaan/fungsi f : A ® B.  Fungsi f dikatakan injektif jika dan hanya jika untuk setiap x, y  Î A dengan f(x) = f(y) berlaku  x = y
Contoh :
Diketahui fungsi f : R ® R dengan f(x) = x3.  Fungsi f merupakan fungsi yang injektif karena untuk setiap   x, y  Î R  dengan  f(x) = f(y) maka x3 = y3 sehingga berlaku x = y
Sedangkan fungsi f : R ® R   dengan  f(x) = x2  bukan  fungsi  injektif  karena  ada  -2 ,  2 Î R  dan  -2 ≠ 2  tetapi f(-2) = (-2)2 = 4 = 22 = f(2).

Definisi :
Diketahui pemetaan/fungsi f : A ® B.  Fungsi f dikatakan bijektif jika f  injektif dan f surjektif. 
Contoh :
1.  Fungsi  f : R ® R dengan f(x) = x merupakan fungsi bijektif.
2.  Fungsi  f : R ® R dengan f(x) = x2 merupakan bukan fungsi bijektif karena f tidak injektif.
3. Fungsi  f : R ® R dengan f(x) = 2 x + 3 merupakan fungsi bijektif.
4. Fungsi  f : R ® R dengan f(x) = x3 merupakan fungsi bijektif.
5. Fungsi  f : R ® R+ dengan f(x) = ex merupakan fungsi bijektif.

Definisi :
Misalkan < G, * > dan < H, .> grup. Pemetaan  f : G ® H dinamakan homomorfisma grup jika f mengawetkan operasi yaitu asalkan bahwa f(x * y) = f(x) . f(y) untuk semua x, y Î G.
Contoh :
Misalkan < G, . > suatu grup abelian dan n bilangan bulat tertentu. Akan ditunjukkan bahwa aturan f(x) = xn mendefinisikan suatu homomorfisma
                        f : G ® G.
Karena f(xy) = (xy)n = xn yn = f(x) f(y) maka f  mengawetkan operasi.
Khususnya,  f : Z10* ® Z10* dengan f (x) = x2.  Hal itu berarti  f(1) = 1, f(3) = 9, f(7) = 9, dan f(9) = 1.




Determinan sebenarnya merupakan homomorfisma dari M2x2* ke R* karena determinan mempunyai sifat det(AB) = det(A) . det(B) yang berarti fungsi determinan mengawetkan operasi. Dalam hal ini determinan juga merupakan fungsi yang surjektif.
Suatu homomorfisma grup yang bijektif (surjektif dan injektif) dinamakan isomorfisma grup, sedangkan isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri dinamakan automorfisma.
Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan untuk menghubungkan grup bagian dari suatu grup G dengan grup bagian yang lain dalam upaya menganalisis struktur dari grup G. Salah satu bentuk automorfisma yang penting adalah sebagai berikut: untuk setiap b dalam G terdapat suatu automorfisma fb yang membawa x ke konjugatnya yaitu b-1xb. Peta dari sebarang grup bagian S dibawah automorfisma fb adalah  b-1Sb = { b-1 s b | s dalam S }.
Dalam hal ini merupakan grup bagian dari G yang isomorfis dengan S. Berbagai grup bagian b-1Sb dinamakan konjugat dari S.

Manfaat utama dari homomorfisma f : G ® H yaitu dengan melihat sifat-sifat dari petanya (image) dapat disimpulkan sifat-sifat dari grup G.

Definisi :
Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma grup   f : G ® H didefinisikan sebagai
                        Im(f) = f(G) = {  f(g) | g Î G }.
Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika f surjektif atau f pada (onto) H.

Teorema:
Jika f : G ® H homomorfisma grup maka Im(f) grup bagian dari H.
Bukti :
1.   Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup.
Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f  homomorfisma maka f(ab) = f(a) f(b). Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G (sebab G grup).
Jadi f(a) f(b) = f(ab) dalam G dengan ab dalam G atau f(G)tertutup.
2.   Akan dibuktikan bahwa e¢ dalam f(G)
Anggota e¢ adalah identitas dalam H untuk membedakan dengan e dalam G. Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f). Karena f(b) dalam Im(f) maka  f(e) f(b) = f(eb) = f(b) = e¢ f(b). Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan didapat f(e) = e¢.
3.   Akan dibuktikan f(G) mengandung invers dari anggota f(G).
Misalkan f(x) dalam f(G). Anggota f(x-1) merupakan invers dari f(x) karena  f(xf(x-1) = f(xx-1) = f(e) = e¢. Dengan cara yang sama, didapat
  f(x-1) f(x) = e¢ dan f(x-1) invers (yang tunggal) dari f(x) dengan f(x-1) dalam f(G).

Teorema :
Misalkan < G, . > grup dan < B,* > sistem aljabar dengan operasi *.
Maka fungsi f : G ® B mengawetkan operasi maka Im(f) merupakan grup terhadap operasi * yang termuat dalam sistem B.
Bukti:
Dengan sedikit perubahan pada pembuktian Teorema VII.1 maka dapat dibuktikan sifat ketertutupan, identitas dan hukum invers. Tinggal dibuktikan bahwa hukum assosiatif berlaku.
Misalkan f(a), f(b), f(c) dalam f(G). Pada satu sisi, ( f(a)*f(b) ) * f(c) =  f(ab)*f(c) = f((ab)c) Sedangkan pada sisi lain, f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) =  f(a(bc)) Karena G grup maka (ab) c = a (bc) sehingga kedua hasil di atas sama.

Contoh :
Dalam contoh ini diperlihatkan bagaimana menggunakan suatu fungsi dari grup Z ke Zn untuk membuktikan bahwa Zn grup. Didefinisikan f : Z ® Zn dengan f(x) = r dan r merupakan sisa pembagian x oleh n.


Definisi :
Misalkan f : G ® H  homomorfisma grup.  Inti dari f atau Ker(f) didefinisikan sebagai anggota G yang dipetakan oleh  f  ke anggota identitas dari H yaitu
Ker(f) = { x Î G | f(x) = e }.
Contoh :
Bila didefinisikan pemetaan f : Z20* ® Z20* dengan f(x) = xmaka dengan menggunakan metode trial and error akan diperoleh
Ker(f) = { 1, 9, 11,19 }.

Teorema :
Jika f : G ® H homomorfisma grup maka Ker(f) grup bagian dari G.
Bukti :
1.      Akan dibuktikan bahwa e dalam Ker(ƒ).
Telah ditunjukkan bahwa f(e) = e¢. Akibatnya identitas e dalam G merupakan anggota Ker(f).
2.      Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) tertutup.
Misalkan x, y dalam Ker(f). Karena  x, y dalam Ker(f) maka  f(x) = e¢ dan f(y) = e¢  sehingga  (xy) = f(x) f(y) = e¢ e¢= e¢. Oleh karena itu , xy dalam Ker(f).
3.      Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ)mengandung invers dari  anggotanya.
Misalkan x dalam Ker(f). Karena x dalam Ker(f) maka f(x) = e¢ sehingga f(x) = e¢
 f(x) f(x-1) = e¢ f(x-1)
 f(x x-1) = f(x-1)
f(e)= f(x-1)
 e¢= f(x-1)
Berarti  f(x-1)  dalam Ker(f).

Teorema :
Misalkan f : G ® H homografisma grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini berlaku :
a.    Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G.
b.   Jika G siklik maka f(G) siklik.
c.    Jika a  G mempunyai orde berhingga maka order dari membagi order a.
d.   Jika G abelian maka f(G) abelian.

Misalkan G = (a) = { ak  | k Î Z }. Akibatnya f(G) = {  f(ak) | k Î Z }.
Tetapi karena  f(ak) = (  f(a) )k  ( dengan induksi  )  maka  f(G) = { (  f(a) )k   | k Î Z }. Berarti f(G) dibangun oleh f(a) atau f(G) siklik. Order dari f(a) sama dengan order dari grup bagian siklik ( f(a) ). Tetapi pada bagian (2) dalam bukti ini terlihat bahwa f membawa (a) pada ( f(a) ). Pada bagian (1) dalam bukti ini juga menjelaskan bahwa order dari ( f(a) ) membagi orde (a). Dengan kata lain, orde dari ( f(a) ) membagi orde a. Ambil sebarang  f(a), f(b) dalam f(G) dengan G abelian.
Akibatnya f(a) f(b) = f(ab) = f(ba) = f(a) f(b).
Berarti f(G) abelian.

Contoh :
Fungsi f :  dengan f(x) = 8x merupakan homomorfisma 2 ke 1.
Karena f(0) = 0 dan  f(5) = 0 maka
                        K=Ker(f) = { 0, 5 }. 
 Koset dari K dibawa ke anggota dari peta f  yaitu 10 anggota  dibawa dalam 2 ke 1  cara ke 5 anggota peta f.
                        { 0 , 5 } ® 0
                        { 1 , 6 }  ® 8
                        { 2 , 7 }  ® 6
                        { 3 , 8 }  ® 4
                        { 4 , 9 }  ®

Teorema :
Misalkan f : G ® H homomorfisma grup dengan inti  Ker(f) dan peta f(G).
Sifat-sifat berikut ini berlaku :
a.    Fungsi  f  injektif jika dan hanya jika Ker(f)={ 0 }
b.   Jika  f  injektif maka  G  isomorfis dengan f(G).

Contoh :
Didefinisikan pemetaan  f : Z ® Z dengan aturan f(x) = 3x. Karena  f(x+y) = 3(x+y) =  3x+3y = f(x) + f(y) maka f homomorfisma. Penyelesaian persamaan 3x = 0 adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif.
Dengan menggunakan teorema maka Z  isomorfis dengan Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3) yang merupakan grup bagian sejati dari Z.
  

Soal :
Misalkan  diketahui R himpunan bilangan real dan R* = R – {0}. 
Didefinisikan f  :  R*  ® R*  dengan  f(x) = x2 Buktikan  f  homomorfisma tetapi  f  tidak injektif.
Jawab  :
Berdasarkan Contoh  VII.4, dengan mengingat R* grup terhadap operasi perkalian maka  f  homomorfisma tetapi
Ker(f) = { x Î R* |  f(x) = x2 = 1 }
                      = { 1, -1 } ≠ { 1 } sehingga f tidak injektif.
Kernel Dari Homomorfisma
Definisi: misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam f (Kf) adalah himpunan semua x Є G yang dipetakan olek  f  ke e’ dimana e’ meupakan unsur identitas dalam G’ atau Kf = { x Є  G ç f(x) Є e’ }.
Contoh:
(Z,+) yaitu grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.
Pemetaan f : Z Z didefinisikan f(x)= mx untuk setiap x elemen G dan m suatu bilangan bulat, maka f  adalah suatu homomorfisma dan kernel dari (Z,+)  tersebut adalah {0}.
Teorema:
Misalkan f  homomorfisma dari grup G ke G’ dengan kernel K, maka K adalah subgrup normal dari G.
Bukti:
Pertama akan ditunjukkan bahwa K subgrup dari G.
misakan x,y Є K maka f(x)=e’ dan f(y)=e’
sehingga f(xy)= f(x) f(y)= e’ e’= e’ dimana xy  Є K (sifat tertutup).
Selanjutnya
jadi
K (sifat invers).
Untuk menunjukkan sifat normal, ambil g  Є G dan k Є  K maka:
diperoleh
sehingga K subgrup normal dari G.
Homomorfisme Natural
Setiap homomorfisma pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup factor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup  factor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisma baru yang disebut homomorfisma natural
Theorema :
Mislkan G suatu grup dan N adalah subgroup normal di G, di definisikan suatu pemetaan f  dari G ke grup factor G/N.
f : G G/N dimana 
, untuk setiap x є G. maka f  adalah homomorfisma dari G yang bersifat pada.
Bukti :
Misal x,y є G sebarang
Maka  
Jadi, f  homomorfisma
Tunjukkan pada / surjektif
Ambil sebarang y є G/N
Maka
untuk suatu y є G
sdemikian hinga  Jadi, homomorfisma f  pada
Teorema Fundamental Homomorfisma
Jika f suatu homorfisma dari grup G ke dalam grup G’  dengan kernel K,maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K  ke dalam G’.
Bukti :
Misalkan f  fungsi dari G pada G’ dengan pengaitan f : G G’ untuk setiap x Є G.,dan g fungsi G  ke dalam G/K  dengan pengaitan g : x Kx untuk setiap x Є G dan kernel dari g adalah K.
Sekarang bangun fungsi h dari G/K  ke dalam G’  dengan pengitan h : Kx f(x)  untuk setiap Є G.
Perhatikan diagram berikut
Pengaitan f.g dan h digambarkan seperti gambar berikut
Akan ditunjukkan bahwa h adalah suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma) dari G/K  ke dalam G/K.
Pertma-tama kita akan menunjukkan bahwa h merupakan pemetaan,dalam arti kita akan menunjukkan bahwa pengaitan untuk h : Kx f(x)  terdefinisi dengan baik (well defined).
3. Latihan
1.   Tentukan fungsi ini homomorfisma atau bukan.
ú     f  : Z ® R* dengan  f(k) = 2 .
ú     f  : R ® R  dengan  f(x) = x .
ú     f  : Z ®  Z  dengan  f(k. 1) = k. 1.
2.   Jika pada soal nomor 1 di atas homomorfisma maka tentukan peta dan intinya.
3.   Jika G dan H sebarang grup dan f : G ® H dengan f(x) = e untuk semua x dalam G buktikan bahwa f homomorfisma.
4.   Diketahui  f : R  ® R+ dengan f(x) = 2-x. Tunjukkan bahwa f homomorfisma yang injektif dengan uji kernel.
5.   Diketahui  Z3* = { 1, 2 } dan f : Z3* ® Z3* dengan  f(x) = x2.
     Apakah f homomorfisma bijektif ?



DAFTAR PUSTAKA