Matematika 5A2: Grupoid, Semigrup, Monoid

MATERI KULIAH

STRUKTUR ALJABAR

“Grupoida, Semigrup dan Monoida”

Dosen : Yenni, M.Pd

Disusun Oleh : Kelompok 2

1. Ana Karnaesih                    ( 10.84.202.055 )

2. Nuratikah                            ( 10.84.202.083 )

3. Nurul Wulandari                 ( 10.84.202.084 )

4. Pravita Hidayati                  ( 10.84.202.085 )

              

               Kelas                    : A 2

          Semester              : V ( Lima )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH

TANGERANG

2012

A.    Grupoida

v  Pengertian Grupoida

Struktur aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner yang tertutup. Apabila himpunan S dilengkapi dengan satu biner *, maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S, *). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan o; maka struktur aljabar tersebut dinyatakn dengan (S,*,o) atau (S,o,*). Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoida.

Definisi

Struktur aljabar adalah dengan satu operasi biner yang tertutup disebut grupoida.

Contoh

Penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan dinyatakan dengan + dan x.

A = {1,2,3,…}

B = {…,-2,-1,0,1,2,…}

C = {x | x bilangan rasional}

D = {x | x bilangan real}

Sruktur aljabar berikut adalah grupoida

a)      (A,+) dan (A,x)

b)      (B,+) dan (B,x)

c)      (Q,+) dan (Q,x)

d)     (R,+) dan (R,x)

Contoh

Selidiki apakah ( W, + ) merupakan grupoid !

( W, + ) , w = {0,1,2,3, . . . }

Penyelesaian :

A,b

Contoh

M₁ adalah himpunan matriks ordo m x n.

M₂ adalah himpunan matriks ordo n x n.

 (M_1,+), (M₂,+) dan (M₂,x) adalah grupoida.

Contoh

M =| a,b,c,d Î R, ad – bc ≠ 0 }

Contoh

S = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan table 1. Dengan memperhatikan table tersebut diperoleh (S,*) memenuhi sifat tertutup. Jadi (S,*) grupoida.

v  Sifat-sifat Grupoida

Definisi :

1.      (G,*) suatu grupoida dari iÎ G.

Elemen i disebut elemen identitas kiri dari G,

Jika  a Î G memenuhi i * a = a dan (G,*).

Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kiri.

2.      (G,*) suatu grupoida dengan i Î G.

Elemen i disebut elemen identitas kanan dari G,

Jika  a Î G memenuhi i * a = a dan (G,*).

Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kanan.

3.      (G,*) suatu grupoida.

Jika  a,b Î G memenuhi a * b = b * a maka (G,*) disebut grupoida komutatif.

4.      (G,*) suatu grupoida dan iÎ G.

i disebut elemen identitas dari G

jika dan hanya  a Î G memenuhi i * a = a* i = a.

Dalam hal demikian (G,*) disebut grupoida dengan elemen identitas.

5.      (G,*) suatu grupoida.

Jika  a,b Î G memenuhi (ab)c = a (bc) maka (G,*) disebut grupoida asosiatif.

Adakalanya suatu grupoida mempunyai elemen identitas kiri lebih dari satu atau elemen identitas kanan lebih dari satu. Tetapi ada pula grupoida yang sama sekali tidak mempunyai elemen identitas kiri maupun elemen identitas kanan. Sifat-sifat tersebut akan kita jelaskan dengan contoh berikut. Sedangkan beberapa sifat yang lain akan kita jelaskan kemudian.

Contoh

a)      (A,+) dengan A = {1,2,3,…} adalah grupoida.

Sifat-sifatnya adalah:

Tidak mempunyai elemen identitas penjumlahan sebab a Î A memenuhi o + a  = a + o = a dan o Î A.

Komutatif;  a,b Î A memenuhi a + b = b + a.

Asosiatif;   a,b,c Î A memenuhi (a + b) + c = a (b + c)

b)      (A,x) dengan A = { 1,2,3,…} adalah grupoida.

Sifat-sifatnya adalah:

Mempunyai elemen identitas perkalian i, sebab a Î A memenuhi i.a = a.i = a dan iÎA.

Komutatif sebab a,b Î G berlaku a.b = b.a.

Asosiatif sebab  a,b,c Î G memenuhi (a.b)c = a.(b.c).

c)      B = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Q = {x | x bilangan rasional}

R = {x | x bilangan real}

(B,+), (Q,+) dan (R,+) grupoida komutatif yang asosiatif dan mempunyai elemen identitas o.

(B,x), (Q,x) dan (R,x) grupoida komutatif yang asosiatif dan mempunyai elemen identitas 1.

Contoh

M = himpunan matriks ordo m x n

K = himpunan matriks ordo  n x n

Dengan memperhatikan contoh 4,6,9 dan 10 diperoleh sifat-sifat berikut.

(M,+) dan (K,+) grupoida komutatif yang asosiatif dan mempunyai elemen identitas penjumlahan, yaitu matriks nol.

(M,x) grupoida tidak komutatif yang asosiatif dan mempunyai elemen identitas matriks.

Identitas ordo n dengan notasi I_n.

Contoh

G = {a,b,c} dengan * operasi biner yang dinyatakan dengan Tabel 1. Dengan memperhatikan contoh 14 diperoleh sifat-sifat berikut.

(G,*) grupoida tidak komutatif, tidak asosiatif dan tidak mempunyai elemen identitas kiri maupun elemen identitas kanan. Untuk jelasnya perhatikanlah uraian berikut.

Misalkan (G,*) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan suatu table Cayley.

1.      Jika pada table Cayley terdapat suatu baris yang urutan anggotanya sama dengan baris paling atas maka anggota pada kolom paling kiri merupakan suatu elemen identitas kiri.

2.      Jika pada table Cayley terdapat suatu kolom yang urutan anggotanya sama dengan kolom paling kiri maka anggota pada baris paling atas merupakan suatu elemen identitas kanan.

3.      Jika pada table Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama dengan urutan baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama dengan kolom paling kiri keduanya menuju elemen yang sama yaitu elemen identitas.

4.      Jika letak anggota pada bujursangkar simentris terhadap garis diagonal utama maka grupoida adalah komutatif.

Contoh

S = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan table 2

                                                        

*	a	b	c
a	a	b	c
b	a	b	c
c	c	b	a

a * a = a

a * b = b

a * c = c

a elemen identitas kiri dari S.

b * a = a

b * b = b

Tabel 2                                                  b * c = c

b elemen identitas kanan dari S.

Jadi (S, *) grupoida tidak komutatif dan mempunyai elemen identitas kiri a dan b.

Contoh

S = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan table 3.

*	a	b	c
a	a	b	c
b	a	b	c
c	c	b	a

                              Tabel 3

a * a = a

a * b = b

a * c = c

a elemen identitas kiri dari S. Demikian pula untuk b dan c

           

Jadi (S, *) grupoida tidak komutatif dan mempunyai elemen identitas kanan a, b dan c.

Contoh 10

S = {a, b, c, d} dengan operasi biner * dinyatakan dengan Tabel 4.

*	a	b	c	d
a	b	a	d	c
b	a	b	c	d
c	d	c	b	a
d	c	d	a	b

b * a = a

b * b = b

b * c = c

b * d = d

b elemen identitas kiri dari S.

                        

a * b = a

b * b = b

Tabel 4                                         c * b = c

d * b = d

b elemen identitas kanan dari S.

Karena b adalah elemen identitas kiri dan elemen identitas kanan, maka b merupakan elemen identitas dari S

Jadi (S, *) grupoida komutatif dengan elemen identitas b.

v Sifat-sifat yang lain dari grupoida sebagai berikut.

Definisi

1.      Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kiri jika untuk setiap a,b,c  G berlaku implikasi jika a b = a c maka b = c.

2.      Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kanan jika kesamaan ba = ca selalu menghasilkan b = c.

3.      Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan atau pencoretan atau penghapusan (cancellation law) jika "a,b,c  G dan a  0 dipenuhi a b = a c ® b = c a ® b = c.

4.      Suatu grupoida G dikatakan memenuhi persamaan kiri jika "a,b,  G persamaan xa = b mempunyai penyelesaian di G.

5.      Suatu grupoida G dikatakan memenuhi persamaan kanan jika "a,b,  G persamaan ay = b mempunyai penyelesaian di G.

Contoh

A = {1,2,3,......}

B = {.....,-2,-1,0,1,2,.......} dan B* = B – {0}

Q = {x│x bilangan rasional} dan Q* = - {0}

R = {x│x bilangan real} dan R* = R – {0}

Penyelesaian :

a.       Pada grupoida (A,+), (B, +), (Q, +) dan (R, +) berlaku hukum pelenyapan kiri dan pelenyapan kanan, sebab "a,b,c anggota grupoida tersebut memenuhi

a + b = a + c           ® b = c

b + a = c + a           ® b = c

b.      Pada grupoida (A*, x), (B*, x), (Q*, x) dan (R, +) berlaku hukum pelenyapan kanan dan pelenyapan kiri, sebab "a,b,c anggota grupoida tersebut memenuhi

b . a = c . a             ® b = c

a . b = a . c             ® b = c

c.       Pada grupoida (A, +), (A, x) dan (B, x) tidak berlaku persamaan kiri dan persamaan kanan pada (A, +) penyelesaian x + 3 = 1 adalah -2 Ï A

       Penyelesaian 4 + y = 3 adalah -1 Ï A

Pada (A, x) dan (B, x ) penyelesaian X.3 = 1 adalah Ï A dan  Ï B.

Demikian pula untuk persamaan 4y = 3.

Penyelesaiannya  dan  Ï A,  Ï B.

d.      Pada grupoida (Q, x) dan (R, x) berlaku persamaan kiri dan persamaan kanan, sebab xa = b dan ay = b selalu mempunyai penyelesaian di Q dan di R.

               

Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabel Cayley maka

1.      (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kiri jika dan hanya jika setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.

2.      (G, *) memnuhi hukum pelenyapan kanan jika dan hanya jika kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.

3.      (G, *) memnuhi hukum persamaan kiri jika dan hanya jika kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan

4.      (G, *) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan.

Jadi dapat disimpulkan :

1.      Jika setiap baris dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum persamaan kanan.

2.      Jika setiap kolom dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kanan dan hukum persamaan kiri.

Apabila (G,*) grupoida komutatif yang memenuhi hukum pelenyapan kiri maka (G, *) pasti memenuhi pula hukum pelenyapan kanan.

Apabila (G, *) grupoida yang tidak komutatif maka ada beberapa kemungkinan.

1)      (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kiri tetapi tidak memenuhi hukum pelenyapan kanan.

2)      (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan tetapi tidak memenuhi hukum pelenyapan kiri.

3)      (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum pelenyapan kanan.

Contoh 12

(G,*) grupoida dengan G = {p, q, r} dan * dinyatakan dalam tabel.

*	p	q	r
p	p	q	r
q	p	q	r
r	p	q	r

                            Tabel 5

Penyelesaian :

a.       Setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan . Jadi (G,* ) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan memenuhi persamaan kanan.

b.      Setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya sama. Jadi(G. * ) tidak memenuhi hukum pelenyapan kanan dan tidak memenuhi hukum persamaan kiri.

B. Semigrup

Pengertian Semigrup

Grupoida adalah struktur aljabar yang paling sederhana,yaitu himpunan yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang tertutup. Semigrup adalah grupoida yang mempunyaii sifat tertentu.

Definisi

Suatu gropoida (G,*) disebut semigrup jika  memenuhi (a*b)*c = a*(b*c). Jadi semigrup adalah grupoida yang mempunyai sifat asosiatif.

Contoh

A = { 1, 2, 2,....}

B = {....., -2, -1, 0, 1, 2,....}

C = {x│x bilangan rasional }

R = {x │x bilangan real }

( A, + ), ( B, + ), ( Q, + ) dan ( R,+ ) merupakan semigrup.

Contoh

A = { 1, 2, 2,....}

B = {....., -2, -1, 0, 1, 2,....}

C = {x│x bilangan rasional }

R = {x │x bilangan real }

( A, x ), ( B, x ), ( Q, x ) dan ( R, x ) merupakan semigrup.

Contoh

B* = B – {0}

Q* = Q – {0}

R* = R – {0}

(B*, x), (Q*,x) dan (R*,x) merupakan semigrup.

Contoh

R ⁺= {x│x bilangan real, x > 0}

Q ⁺ = {x│x bilangan rasional, x > 0}

(R ⁺,x) dan (Q ⁺,x) merupakan semigrup.

Contoh

G = {a, b, c, d} dengan opersai biner dalam tabel.

*	a	b	c	d
a	d	c	a	b
b	c	d	b	a
c	a	b	c	d
d	b	a	d	c

Tabel 1

Penyelesaian :

(G, * ) merupakan semigrup sebab :

a.       Tertutup          :

b.      Asosiatif          :

(ab)c = c.c = c

a(bc) = a.b = c

Demikian pula untuk setiap 3 anggota G yang lain.

Contoh

G = {a, b, c, d} dengan opersai biner * dinyatakan dalam tabel.

*	a	b	c	d
a	b	c	d	a
b	d	a	b	c
c	a	b	c	d
d	c	d	a	b

Tabel 2

Penyelesaian :

(G,*) bukan semigrup sebab meskipun :

a ( bc ) = ab = c

(ab) c = cc = c

(ab) c = a (bc)

Tetapi

(aa) a = ba = d

a (aa) = ab = c

Jadi tidak asosiatif.

Contoh

Dibicarakan himpunan bilangan rasional Q, dan misalkan * adalah operasi pada Q yang didefinisikan sebagai a*b = a + b – ab. Apakah (Q,*) semigrup? Apakah ia komutatif ?

Penyelesaian :

Tertutup ::  

Kita tentukan apakah * asosiatif:

(a*b)*c = (a + b – ab)*c

             = (a + b - ab) + c - (a + b – ab)c

 = a + b – ab + c – ac – bc + abc

= a + b + c – ab – ac – bc + abc

a*(b*c) = a*(b + c – bc)

 = a +(b + c – bc) – a(b + c – bc)

 = a + b + c – bc – ab – ac +abc

Karenanya (Q,*) adalah semigrup komutatif.

C. Monoida

Pengertian Monoida

Monoida adalah Semigrup yang mempunyai sifat tertentu. Monoida ada yang komutatif ada pula yang tidak komutatif.

Definisi

Suatu semigrup (G,*) disebut monoida jika ada i G sedemikian sehingga a G memenuhi i * a = a * i = a

Dengan perkataan lain monoida adalah semigrup yang mempuyai elemen identitas.

Contoh

A = { 1, 2, 3,...}

B = {...., -2, -2 , 0, 1, 2,....}

Q = {x│x bilangan rasional }

R = {x│x bilangan real }

Penyelesaian :

(A, x ) bukan monoida sebab 0  A.

(B, + ), (Q, + ), dan (R, + ) merupakan monoida.

(A, x ), (B, x), (G, x) dan (R, x) adalah monoida.

Contoh

Selidiki !

( z, x)

Penyelesaian :

1.      Tertutup    :  

2.      Asosiatif    : a, b, c  z

                   (a x b) x c = a x (b x c)

3.      Unsur Identitas     :   

                              

Contoh

G = {a, b, c, d} dengan operasi biner * dinyatakan dalam tabel 1.

(G, * ) adalah monoida yang komutatif dengan elemen identitas c.

Contoh

G = { a, b, c, d } dengan operasi biner * dinyatakan dalam tabel 2.

(G, *) bukan monoida.

Sifat-Sifat Monoida

Misalkan (M, * ) suatu monoida dengan elemen identitas i M, sedangkan a  M.

1.      a mempunyai invers kanan dalam M jika ada a-1  M sehingga a*a-1 = i.

2.      a mempunyai invers kiri dalam M jika ada a-1  M sehingga a-1*a = i.

3.      a mempunyai invers dalam M jika ada a-1  M sehingga a-1*a = a*a-1 = i.

4.      Jika dalam suatu monoida suatu anggota mempunyai invers kiri lebih dari satu maka anggota tersebut tidak mempunyai invers kanan.

5.      Jika dalam suatu monoida suatu anggota mempunyai invers kanan lebih dari satu anggota tersebut  tidak mempunyai invers kiri.

Contoh

B = {....., -2, -1, 0, 1, 2,....}

(B, x ) adalah monoida  yang komutatif  dengan elemen identitas 1.

Anggota B yang mempunyai invers adalah 1 dan -1.

Sebab ,

1.1  = 1

( -1.-1 ) = 1

Jadi invers 1 adalah 1

Invers -1 adalah -1.