Pgsd F: Nilai Tempat dan Sistem Numerasi

KONSEP DASAR MATEMATIKA 1

TUGAS KELOMPOK

(NILAI TEMPAT SISTEM NUMERASI)

Di Susun Oleh Kel. 4

Kelas : 1.F

Hasna Darajat

Muhammad Iqbal

Rina Islamiyati

Nurul Aqsha Handayani

Yesi Priyanti

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

A.    PENGERTIAN NILAI

Nilai adalah sesuatu yang berharga, bermutu, menunjukkan kualitas, dan berguna
bagi manusia. Sesuatu itu bernilai berarti sesuatu itu berharga atau berguna
bagi kehidupan manusia.

MACAM-MACAM NILAI
Dalam filsafat, nilai dibedakan dalam tiga macam, yaitu
a. Nilai logika adalah nilai benar salah.
b. Nilai estetika adalah nilai indah tidak indah.
c. Nilai etika/moral adalah nilai baik buruk

B.     Pengertian Nilai Tempat

          Untuk menyebut hasil membilang diperlukan bilangan, dan untuk menyatakan bilangan perlu lambang. Tentu saja kurang praktis dan mempersulit pekerjaan jika setiap dua bilangan yang berbeda mempunyai lambang atau susunan lambang yang sama sekali berbeda. Dapat dibayangkan bagaimana sulitnya kita mengingat jika bilangan-bilangan dari 1 sampai 1000 masing-masing menggunakan lambang yang sama sekali berbeda satu sama lain. Ini berarti bahwa kita perlu mencapai lambang-lambang bilangan yang terbatas, dan membuat peraturan yang sistematis dan tata asas untuk menyusun lambang bilangan yang manapun, sehingga berbentuk sistem numerasi.

          Suatu sistem numerasi disebut sistem tempat jika nilai dari lambang-lambang yang digunakan menerapkan aturan tempat, sehingga lambang yang sama mempunyai nilai yang tidak sama karena tempatnya berbeda. Sistem nilai tempat yang pernah dikenal adalah sistem Mesir kuno, sistem Yunani kuno, sistem Cina, sistem Maya, dan sistem Hindu-Arab.

          Sistem ini menentukan sepuluh lambang dasar (pokok) yang disebut angka (digit), yaitu 0.1.2.3.4.5.6.7.8, dan 9. pemilihan sepuluh angka dipengaruhi oleh banyaknya sepuluh jari-jari tangan (kaki), yaitu 10, sehingga sistem ini lebih dikenal dengan sebutan sistem desimal (latin: decem=10)

         

Di dalam desimal, penulisan lambang bilangan menggunakan pengelompokan kelipatan 10:

1. Bilangan-bilangan dari 0-9 dilambangkan = lambang angka.

Nol    = 0                        Lima           = 5

Satu  = 1                        Enam          = 6

Dua   = 2                        Tujuh         = 7

Tiga   = 3                        Delapan      =8

Empat=4                        Sembilan    =9

2.      Bilangan yang satu lebih dari bilangan 9 disebut 10. Bilangan 10 terdiri atas sepuluh satuan. Pengelompokan sepuluh satuan menjadi satu menghasilkan :

Satu Puluhan IIIIIIIIII     = 10 satuan =1 puluhan

Lambang satu puluhan adalah sepuluh. Lambang-lambang kelipatan sepuluh adalah:

20          = dua puluh, memuat dua puluhan

30          = tiga puluh, memuat tiga puluhan

90          = sembilan puluh, memuat sembilan pulihan.

Perhatikan peragaan-peragaan berikut

    
                         = dua puluh = 20

♪ ♪             ♪♪              ♪♪

♪♪              ♪♪              ♪♪

                   ♪♪              ♪♪              ♪♪     = tiga puluh = 30

♪♪              ♪♪              ♪♪

♪ ♪              ♪♪              ♪♪

C.   Pengertian Sistem Numerasi

Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/ lambang bilangan.Banyaknya suku bangsa di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda. Oleh karena itu suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambang, tetapi suatu lambang menunjuk hanya pada satu bilangan

Sistem numerasi yang dikenal sebagai berikut :

1.Sistem Numerasi Romawi

       Sistem numerasi Romawi berkembang terus menerus dan mengalami perkembangan. Dalam sistem ini beberapa I,V, X, L, C, D, M yang berturut turut mewakilibilangan-bilangan satu, lima, sepuluh, lima puluh, seratus, lima ratus, dan seribu. Lambang bilangan lain ditulis dengan mengunakan simbol dasar tersebut dengan aturan tertentu.
       Bila lambang sebuah bilanganditulis dengan dua simbol dimana simbol disebelah kanan mewakili bilangan yang lebih kecil daripada angka yang diwakili simbol disebelah kirinya, maka arti penulisan lambang bilangan tersebut adalah jumlah.
Contoh :

*  VI mewakili bilangan 6, sebab I mewaliki bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lambang bilangannya V, dan I berada disebelah kanan bilangan bilangan yang lambang bilangannya V. Dengan demikian VI sama dengan penjumlahan satu dengan lima, sama dengan enam.

*  XVI mewakili bilangan 16, sebab V dan I mewakili bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lambang bilangannya X, dan V serta I berada disebelah kanan bilangan yang lambang bilangannya X. Dengan demikian, XVI sama dengan penjumlahan sepuluh dengan lima dan satu, sama dengan enam belas.

      Bila lambang sebuah bilangan ditulias dengan dua simbol, dimana simbol disebelah kiri mewakili bilangan yang lebih kecil dari angka yang diwakili simbol disebelah kanannya, maka arti penulisan lambang bilangan tersebut adalah selisih.
Contoh :

*  IV mewakili bilangan 4,sebab mewakili bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang
lambang bilangannya V, dan I disebelah kiri bilangan yang lambang bilnagnnya V.
Dengan demikian IV sama dengan selisih satu dengan lima, sama dengan empat.

Bila dua angka atau lebih yang sama nilainya ditulis berdampingan, simbol penulisan tersebut berarti jumlah.
Contoh:
    *  II berarti 1+1 = 2
    *  XXberarti 10+10 = 20.

2. Sistem Numerasi Babilonia

    Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
    Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.

    Bukti  matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.

    Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar.

Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal. Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran
lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati

3. Sistem Numerasi MesirKuno

            Sistem mesir kuno yaitu memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima  rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.

4.Sistem Yunani Kuno Attik 

            Ahli-ahli matematika dari Yunani beserta temuan teorinya, seperti Euclides, Archimides, Appollonius. Bangsa Yunani telah mengenal huruf dan angka pada tahun 600 S.M. yang ditandai tulisan-tulisan bangsa Yunani pada kulit kayu atau logam sehingga bentuk tulisannyapun terlihat kaku dan kuat.lambang bilangan yunani Kuno diambil dari huruf awal dari penyebutan bilangan tersebut.

5.Sistem numerasi Yunani Kuno Alfabetik
            Alfabet Yunani adalah script yang telah digunakan untuk menulis bahasa Yunani sejak abad ke-8 SM. Dalam bentuk yang klasik dan modern itu terdiri dari 24 huruf memerintahkan secara berurutan dari alfasampai omega. Alfabet Yunani adalah berasal dari awal alfabet Fenisia, dari mana ia berbeda dengan menjadi abjad pertama yang menyediakan  representasi penuh satu simbol ditulis per suara baik untuk konsonan dan vokal. Selain digunakan untuk menulis Yunani,
baik kuno dan modern, huruf dari alfabet Yunani saat ini digunakan sebagai simbol teknis dan label di banyak domain matematika, ilmu pengetahuan dan bidang lainnya.

6.Sistem  Numerasi Maya

            Tulisan atau angka yang dikembangkan bangsa maya bentuknya sangat aneh berupa bulatan lingkaran kecil dan garis-garis. Hali ini tentunya sangat dipengaruhi oleh alat tulis yang dipakai,yaitu tongkat yang penampangnya lindris (bulat)

7.Sistem Numerasi Hindu-Arab
            Angka merupakan lambang bilangan Hindu-Arab

Sifat-sifat:
*   Menggunakan 10 angka / digit yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
*   Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh. Artinya setiap sepuluh satuan    dikelompokkan menjadi satu puluhan, setiap sepuluh puluhan menjadi satu ratusan, dan seterusnya.

·   

  Menggunakan aturan tempat
Contoh:
1.234
1= ribuan
2= ratusan
3= puluhan
4= satuan

8. Sistem Numerasi Jepang Cina.

Karakter Cina secara teratur untuk nomor menggunakan relatif sedikit strokes.Karakter Cina reguler untuk menggunakan Angka stroke yang relatif yang karakter sedikit.The untuk satu, dua, dan tiga hanya satu, dua dan tiga stroke horisontal paralel, respectively.Karakter untuk Satu, doa Dan Tiga hanya Satu, doa Dan Tiga Stroke horisontal paralel, masing-masing.To mencegah penipuan saat menulis cek dan kasus-kasus lain di mana penipuan adalah mungkin, Cina juga menggunakan serangkaian karakter yang lebih kompleks untuk numbers.Untuk * Mencegah penipuan ketika menulis Cek Dan kasus-kasus Lain di mana penipuan mungkin, Cina JUGA menggunakan serangkaian Karakter Yang lebih Kompleks untuk nomor.It mudah untuk mengubah "satu" menjadi "dua" dalam karakter biasa, namun dengan karakter yang kompleks formal, ini tidak mungkin. Ulasan Sangat mudah untuk mengubah "Satu" Ke Illustrasi "doa" Illustrasi Karakter Biasa, tetapi Artikel Baru Karakter Yang Kompleks formal, inisial adalah mustahil

9. Sistem Numerasi China.

Cara penghitungan awal di Cina kuno knotting tali. Dengan kata lain, orang terikat knot di tali untuk menghitung hal-hal. Dalam sejarah Cina, tali knotting dan ukiran sebagai cara penomoran telah digunakan selama ribuan tahun sebelum secara bertahap digantikan oleh tanda-tanda dan karakter di Zaman Neolitik terlambat. 

            ada 13 karakter yang melambangkan angka dari satu sampai sepuluh serta seratus, seribu dan sepuluh ribu. Dengan 13 karakter penomoran, nomor alami dalam seratus ribu bisa dihitung

Beberapa contoh dari sistem numerasi yang dikenal yaitu :

1. Sistem Numerasi Mesir Kuno

Bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai lambang-lambangnya.

Lambang dan simbol bilangan Mesir                                                             

Astronished man ( orang astronis )

Scrool ( gulungan surat )

Vertical staff

Heel Bone ( tulang lutut )

Polliwing / burbot ( berudu )

Pointing finger ( telunjuk )

Lotus flower ( bunga teratai )

                                                                       

2. Sistem Numerasi Babylonia

Pertama kali orang yang mengenal bilangan 0 (nol) adalah Babylonian.

3. Sistem Numerasi Yunani Kuno

Ada 2 macam:

·           S.N. Yunani kuno attic

Dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangkan dengan lambang tongkat, misal: 2→ ll

·           S.N. Yunani kuno alfabetik

Digunakan setelah S.N. Yunani kuno attic,

4. Sistem Numerasi Maya

Berbasis 20 dan ditulis secara tegak. Suku bangsa Maya sudah mengenal bilangan tak hingga.

            Contoh: menulis 258.458 dalam bilangan Maya

                                    1(20)⁴  = 160.000

                                    12(20)³=  96.000

                                    6(20)² =     2.400

                                    2(20)¹ =          40

                                  18(20)⁰ =          18  +

                                                  258.458                

5. Sistem Numerasi Cina (±200 SM)
6. Sistem Numerasi Jepang-Cina (±200 SM)

7. Sistem Numerasi Romawi (±100 SM)

I =1, I disebut UNUS

V =5 , V disebut QUINQUE

X =10, X disebut DECEM

L =50, L disebut QUINQUAGINTA

C =100, C disebut CENTUM

M =1000

Persamaannya dengan sistem numerasi hindu arab adalah sama-sama menggunakan basis sepuluh.

Perbedaan dengan sistem numerasi hindu arab adalah

• Sistem numerasi hindu arab menggunakan sistem nilai tempat
• Sistem numerasi romawi tidak menggunakan sistem nilai tempat

4 prinsip yang digunakan

1)      Pengulangan

Angka yang boleh diulang adalah I , X ,C , M ( tidak boleh diulang lebih dari 3x )

Contoh :          20 = XX , 3= III 

4≠IIII tetapi 4=IV

100≠ LL tetapi 100=C

2)      Penjumlahan

Jika suatu angka diikuti oleh angka yang lebih kecil, maka nilai angka yang lebih kecil menambah nilai angka sebelumnya .

Yang boleh mengikuti adalah angka I, V, X, L , C , D )

Contoh :          VI =6             

XI=11

MD=1.500

3)      Pengurangan

Jika angka yang lebih kecil mendahului nilai angka yang lebih besar, maka nilai angka yang lebih kecil mengurangi nilai angka yang lebih besar

4)      Perkalian

Dengan menambahkan tanda strip ( ¯ ), dibaca bar diatas angka romawi maka akan menambah nilai angka tersebut menjadi 1000 x nya .

X= 10.000

D = 500.000.000

8. Sistem Numerasi Hindu-Arab

Angka merupakan lambang bilangan Hindu-Arab

Sifat-sifat:

·      Menggunakan 10 angka / digit yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

·      Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh. Artinya setiap sepuluh satuan dikelompokkan menjadi satu puluhan, setiap sepuluh puluhan menjadi satu ratusan, dan seterusnya.

·      Bilangan-bilangan yang lebih besar daripada 9 dinyatakan sebagai bentuk suku-suku yang merupakan kelipatan dari perpangkatan 10.

Antar suku dipisahkan oleh tanda plus ( + ).

Misalnya :  10 = 1x10¹+0x10⁰

      205= 2x10²+0x10⁰+5x10⁰

·      Menggunakan aturan tempat

Contoh: 1.234

1= ribuan

2= ratusan

3= puluhan

4= satuan

Beberapa konsep dalam sistem numerasi:

1. Aturan Aditif

Simbolnya sama nilainya sama dimanapun letaknya.

2. Aturan pengelompokan sederhana

Jika lambang yang digunakan mempunyai nilai-nilai n⁰, n¹, n²,… dan mempunyai aturan aditif

3. Aturan tempat

Jika lambang-lambang yang sama tetapi tempatnya beda mempunyai nilai yang berbeda

4. Aturan Multiplikatif

Jika mempunyai suatu basis (misal b), maka mempunyai lambang-lambang bilangan 0,1,2,3,..,b-1 dan mempunyai lambang untuk b², b³, b⁴,.. serta mempunyai aturan tempat.

.