MAKALAH
GRUP, SUBGRUP
DAN SIFAT –
SIFATNYA
Diajukan
Untuk Memenuhi Salahsatu Tugas Mata Kuliah Struktur Aljabar
Dosen : YENNI, M.Pd
DI SUSUN OLEH KELOMPOK 3
NAMA NPM
1. Dedi
Supriyatna 10.84.202.009
2. Fifi
Wulandari 10.84.202.019
3. Evi
Rosmaya 10.84.202.067
4. Yuli
Setyaningsih 10.84.202.102
5. Widda
Maula Azwa 10.84.202.074
SEMESTER/ KELAS : 5B2
JURUSAN : PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU
PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG
2012
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum warahmatullahi
wabarakatuh.
Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah
berikan, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk
Allah Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta
hidayah-Nya yang tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
makalah dengan judul ”GRUP, SUB GRUP DAN SIFAT - SIFATNYA”.
Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari
berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang
sebesar-besarnya kepada:
1.
Kepada
ibu Yenni, M.Pd, selaku dosem mata kuliah struktur aljabar.
2.
Rekan
– rekan mahasiwa matematika 5B2
Meskipun penulis berharap isi dari makalah ini bebas dari
kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu,
penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar skripsi ini dapat
lebih baik lagi. Akhir kata penulis berharap agar makalah ini bermanfaat bagi
semua pembaca.
Tangerang,
Oktober 2012
Penyusun
DAFTAR ISI
Halaman
KATA PENGANTAR.................................................................................................... i
DAFTAR ISI................................................................................................................. ii
BAB
I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah........................................................................... 1
B.
Rumusan Masalah.................................................................................... 1
C. Tujuan penulisan...................................................................................... 1
BAB II PEMBAHASAN
GRUP, SUBGROUP DAN SIFAT - SIFATNYA
A.
Grup........................................................................................................ 2
B. Sifat
– sifat grup....................................................................................... 3
C.
Subgrup.................................................................................................... 4
D.
Sifat – sifat
subgrup................................................................................. 6
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan.............................................................................................. 8
B. Saran........................................................................................................ 8
DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................... 9
BAB
I
PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang Masalah
Dewasa ini dunia
pendidikan mengalami perkembangan yang sangat pesat, dari mulai perkotaan
sampai perdesaan, ini di tandai adanya kebutuhan yang sangat meningkat akan
adanya perkembangan pendidikan.
Dalam proses
pembelajarannya, ada beberapa anak – anak yang rela menghabiskan waktunya
setiap hari demi ilmu yang kurang di dalam kelas, misalnya bimbel, less dan
sejenisnya, beberapa mata pelajaran yang di bimbelkan di antaranya matematika,
banhasa inggris dan computer.
Di dalam
matematika banyak sekalai pembahasanya baik setingkat sekolah dasar, sekolah
menengah pertama dan atas, aljabar merupakan materi yang wajib di
ajararkan kepada siswa baik tingkatan
sekolah dasar maupun sekolah menengah. Dalam pembahasan struktur aljabar ada
materi yang berkaitan tentang aljabar seperti grup, subgroup dan sifat –
sifatnya.
B. Rumusan
Masalah
Dari penjabaran latar belakang
masalah di atas dapat dirumuskan masalah – masalah yang akan di bahas, di
antaranya sebagai berikut :
1.
Bagaimana cara mebuktikan suatu himpunan
merupakan grup?
2.
Bagaimana sifat – sifat yang dimiliki
oleh grup?
3.
Bagaimana hubungan antara subgrup dan
grup?
C. Tujuan
Penulisan
Makalah ini di buat bertujuan untuk
:
1.
Dapat menjadi salah satu bahan referensi
dalam proses pembelajaran
2.
Sebagai salah satu tugas yang di berikan
kepada kelompok kami
BAB
II
PEMBAHASAN
GRUP,
SUB GRUP DAN SIFAT – SIFATNYA
A. GRUP
Struktur aljabar adalah suatu himpunan tidak kosong S yang
dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner.
Jika himpunan S dilengkapi dengan
satu operasi biner * maka
struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*) dan jika S dilengkapi dengan
dua operasi biner * dan o maka struktur aljabar tersebut dinyatakan (S,*, o)
atau (S, o,*).
Definisi 1:
1.
Operasi biner * pada S adalah jika "a, b Î S berlaku a*b Î S, atau sering dikatakan Operasi * pada S bersifat tertutup.
2.
Jika Operasi * pada S tertutup maka (S,*) disebut
Grupoid yaitu struktur
aljabar dengan satu operasi yang tertutup (biner).
3.
Operasi biner * pada S
dikatakan assosiatif jika "a, b, c Î
S, (a*b)*c = a*(b*c).
4.
Grupoid (S,*) disebut semigrup
jika Operasi biner * pada S assosiatif
5.
Himpunan S terhadap operasi
* dikatakan mempunyai elemen identitas e jika "e Î S, "a Î
S, a*e = e*a = a
6.
Semigrup (S,*) disebut monoid
jika S terhadap * mempunyai elemen identitas e.
7.
Himpunan S terhadap operasi
* dikatakan komutatif jika "a, b Î
S, a*b = b*a
Definisi
2 ;
Misalkan G adalah
himpunan tidak kosong dilengkapi dengan
operasi maka struktur aljabar (G,.)
disebut Grup jika dipenuhi aksioma-aksioma berikiut :
a.
Tertutup, artinya "a, b Î G
berlaku a.b Î G
b.
Asosiatif, artinya "a, b, c ÎG
berlaku (a.b).c = a.(b.c)
c.
Mempunyai elemen identitas
ditulis e, artinya ("a Î G)
a.e = e.a =a
d.
Setiap elemen mempunyai
invers dinotasikan a-1 adalah invers dari a, artinya ("a Î G)
("a-1Î G) sehingga a-1.a = a.a-1 = e
B. SIFAT
– SIFAT GRUP
Teorema :
Jika (G,*) merupakan grup maka
berlaku :
1.
Ketunggalan elemen identitas
2.
Ketunggalan elemen invers
3.
Sifat kanselasi atau pelenyapan atau
penghapusan : "a,
b, c Î G berlaku
i.
jika a * b = a * c maka b = c , disebut
kanselasi kiri
ii.
jika a * c = b * c maka a = b, disebut
kanselasi kanan
4.
persamaan-persamaan a * x = b dan y * a
= b mempunyai penyelesaian tunggal
5.
"a,
b Î G bersifat : i.
(a-1)-1 = a dan ii. (a * b)-1 = b-1
* a-1
PEMBUKTIAN
:
3.i.
Diketahui (G,*) adalah grup dan a Î G maka ada a-1Î
G sehingga
a
* a-1 = a-1 * a = e, dengan e elemen identitas dari G.
menurut ketentuan
a
* b = a * c maka
a-1
* (a * b) = a-1 * (a * c)
(a-1
* a) * b = (a-1 * a) * c sifat asosiatif
e
* b = e * c dengan a-1 * a =
e
b
= c
Pertama
dibuktikan a * x = b mempunyai penyelesaian
Diketahui
(G,*) adalah grup dan a Î G maka ada a-1Î
G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e, dengan e elemen
identitas dari G,
dari
ketentuan a * x = b maka a-1
* (a * x) = a-1 * b
Û
(a-1 * a) * x = a-1 * b
Û e * x = a-1 * b
Û
x = a-1 * b Î G
jadi
a-1 * b adalah penyelesaian dari persamaan a * x = b
4.
Selanjutnya dibuktikan ketunggalan penyelesaian persamaan a * x = b.
Misalkan
persamaan a * x = b mempunyai penyelesaian x1 dan x2 maka
berlaku :
a
* x1 = b dan a * x2 = b sehingga a * x1 = a * x2
Û
a-1 * (a * x1) = a-1 * (a * x2)
Û
(a-1 * a) * x1 = (a-1 * a) * x2
Û
e * x1 = e * x2
Û
x1 = x2
5.
Ditunjukkan "a Î
G, (a-1)-1 = a
(G,*)
adalah grup dan a Î
G maka ada a-1Î
G sehingga
a
* a-1 = a-1 * a = e ………(1)
dengan
e elemen identitas dari G. Karena a-1Î G maka ada (a-1)-1Î
G sehingga (a-1)-1 * a-1 = a-1 * (a-1)-1
= e……...(2)
dari
(1) dan (2) diperoleh : a-1 *
a = a-1 * (a-1)-1 dengan sifat 5.i. diperoleh
a = (a-1)-1
C. SUBGRUP
1.
Pengertian subgrup
Definisi
:
Misalkan
(G,*) suatu grup, H disebut subgrup dari G jika H kompleks dari G dan (H,*) merupakan suatu
grup. H subgrup dari
grup G jika H kompleks dari G dan H juga suatu grup terhadap operasi
yang sama pada G.
Contoh
:
1. G
= (1, -1, i, -i } dengan i = √-1 maka (G,x) merupakan grup dan H = {1, - 1}
adalah subgrup dari G karena H ≠ Φ, H Ì
G sehingga H kompleks dari (H,x) juga suatu grup.
2. (Z,+)
merupakan subgrup dari (Q,+)
3. (Q
– {0},x) merupakan subgrup dari (R – {0},x)
4. Misalkan 2Z =
{x |
x = 2n, n Î Z } =
{ …, -2, 0, 2, … } maka (2Z,+)
subgrup dari (Z,+)
2.
Teorema tentang Subgrup
Teorema
1 :
Misalkan
G adalah grup dan H kompleks dari G
H
subgrup dari G jika dan hanya jika ("a,
b Î H) berlaku i.
ab Î H dan ii. a-1 Î
H.
Bukti
Diketahui
G adalah grup dan H kompleks dari G
(Þ)
H subgrup dari G maka H juga merupakan grup sehingga ("a,
b Î
H) pasti berlaku i. ab Î H dan ii. a-1Î
H
(Ü)
"a,
b Î
H berlaku i. ab Î H dan ii. a-1Î
H.
Akan ditunjukkan
H subgrup dari G berarti
H merupakan grup,
sebagai berikut :
·
Tertutup diketahui dari i
·
Asosiatif : ambil sebarang x, y, z Î H maka x, y, z Î G karena H Ì G dan G adalah grup maka berlaku (xy)z
= x(yz)
·
Ada
elemen satuan : dari ii. diketahui "a Î
H berlaku a-1Î H dan
menurut i. berlaku aa-1Î
H dan aa-1 = e maka e Î
H
·
Setiap elemen dalam H mempunyai invers
diketahui dari ii.
Teorema
2 :
Misalkan
G adalah grup dan H kompleks dari G
H
subgrup dari G jika dan hanya jika
"a,
b Î
H berlaku ab-1Î H.
Bukti
:
Diketahui
G adalah grup dan H kompleks dari G
(Þ)
H subgrup dari G sehingga H juga merupakan grup Akan ditunjukkan "a,
b Î
H berlaku ab-1Î H, sebagai berikut :
Ambil
sebarang a, b Î
H, karena H grup maka terdapat b-1Î H sehingga a, b-1Î
H dan H mempunyai sifat tertutup maka ab-1Î
H
(Ü)
"a,
b Î
H berlaku ab-1Î H. Akan ditunjukkan H subgrup yakni H
merupakan grup, sebagai berikut :
Ambil
sebarang c Î
H maka cc-1Î H (diketahui)
cc-1
= e maka e Î
H ……………………………………………… (*1)
e,
c Î
H maka ec-1 = c-1Î H
(diketahui)...………………………… (*2)
Ambil
sebarang a, b Î
H, menurut (**) b-1Î H, jika a, b-1Î
H maka a(b-1)-1Î H.
Karena
a(b-1)-1 = ab maka ab Î H, jadi H
tertutup ……………….. (*3)
Jelas bahwa H
mempunyai sifat asosiatif karena H Ì G maka "x,
y, z Î H pasti
x, y, z Î G dan G adalah grup maka berlaku (xy)z
= x(yz) … (*4)
Dari (*1), (*2),(*3), dan (*4) terbukti
H merupakan grup yang berarti
H subgrup dari G.
D. SIFAT
– SIFAT SUBGRUP
Teorema 1 :
Misalkan G suatu grup
Jika H subgrup dari G maka i. HH =
H dan ii. H-1= H
Bukti :
Diketahui G grup dan H subgrup dari
G, harus dibuktikan
i.
HH = H
( HH Ì H dan H Ì HH)
·
Ambil sebarang x Î HH berarti x = ab untuk suatu a, b Î H dan karena H subgrup maka ab = x Î H. Jadi "
x Î HH Þ x Î
H atau HH Ì H
·
Ambil sebarang h Î H, dan H subgrup maka e Î H sehingga h = he Î
HH.
Jadi "h
Î H Þ h Î
HH atau H Ì HH
ii.
Bukti bahwa H-1 = H
Teorema 2 :
Misalkan G suatu
grup, sedangkan H dan K masing - masing subgrup dari
G, maka : HK merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.
Bukti :
Diketahui G grup, H subgrup dari G
dan K subgrup dari G (Þ) HK juga subgrup dari G ditunjukkan HK
= KH (HK Ì
KH dan HK Ì
KH)
·
Menurut teorema 1. ii . HK subgrup maka
(HK)-1 = HK ………….( )
Ambil
x Î
HK = (HK)-1 maka x = t-1 untuk setiap t Î
HK berarti t = hk untuk setiap t Î H, kÎ
K. karena H dan K subgrup maka h-1 ∈ H, k-1∈ K, sehinga x = t-1
= (hk)-1= k-1h-1∈ KH Jadi ∀x ∈
HK ⇒ x ∈ KH atau HK ⊂ KH.
·
Menurut teorema 1.ii, H dan K subgrup
maka H-1= H dan K-1= K
Ambil
sebarang y ∈
KH = K-1H-1 maka y = cd untuk suatu c ∈ K-1, d ∈ H-1 berarti
c = q-1 untuk suatu q ∈
K dan d = r-1 untuk suatu r ∈
H, sehingga y = q-1r-1= (rq)-1 ∈ (HK)-1= HK
menurut ( ) Jadi ∀
y ∈ KH ⇒ x ∈ HK atau KH ⊂ HK (⇐)
HK = KH ditujukan HK sugrup dari G. Karena H dan K masing-masing sugru maka
setip z ∈ HK, z = u untuk sutu u
∈ H, v ∈ K, seinga u, v ∈ G, z = u v ∈ G. jadi HK ⊂
G.……………………………………………… (a)
Disamping
itu e ∈ H dane ∈ K maka e = ee ∈ HK. Jadi HK ≠ Φ … (b Daria) dan b diproleh HK kmpleks dari G
Ambil
sembarang x, y ∈
HK ⇒ x = h1k1,y
= h2k2u/ suatu h1, h2 ∈ H, k1, k2
∈ K
xy-1
= h1k1(h2k2)
=
h1k1(k2-1h2-1)
sifat sederhna grup
=
h1(k1k2-1)h2-1 sifat
asosiatif
= (h1k*)h2-1)
k* = k1k2-1
Î K
= (koho)h2-1 h1k* Î
HK = KH maka h1k* = koho, koÎ
K, hoÎ H
= ko(ho h2-1) sifat asosiatif
= koh* Î KH = HK
jadi
HK kompleks dari G dan "x, y Î HK maka xy-1 Î
HK. Dengan kata lain HK subgrup dari G
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dari penjabaran materi atas dapat di
tarik kesimpulan sebagai berikut ;
1. Suatu himpunan dikatakan grup jika
memenuhi syarat – syarat di antaranya bersifat tetutup, bersifat asosiatif,
mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers.
2. Sifat – sifat sederhana dari grup yaitu
sifat pengapusan atau karelasi atau pelenyapan baik yang berada di kanan maupun
yang berada di sebelah kiri.
3. Subgrup merupakan bagian dari grup.
B. Saran
Dalam penulisan makalah ini penulis
menghimbau dapan penulisan makalah alngkah baiknya memenuhi aturan dalam
penulisan.
DAFTAR PUSTAKA
Sukirman (1986). Aljabar Abstar. Jakarta : Universitas Terbuka
Tidak ada komentar:
Posting Komentar