Matematika 5A1: GRUPOID, SEMIGRUP , MONOID

STRUKTUR ALJABAR

GRUPOID, SEMIGRUP , MONOID

Dosen : Yenni, M.Pd

 

      Kelompok 2

                                           Nama       :     1. Dewi Safitri

                                                                 2. Farhanah

                                                                 3. Jumrotul Aslamiya

                                                                 4. Laeny Haryani

                                           Kelas      : 5A1

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

KATA PENGANTAR

Dengan memanjatkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada tim penulis sehingga dapat menyelesaikan makalah ini yang berjudul: “ Grupoid, Semigrup dan Monoid” .

Tim Penulis menyadari bahwa didalam pembuatan makalah ini berkat bantuan dan tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan tidak lepas dari bantuan berbagai pihak untuk itu dalam kesempatan ini tim penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini.

Tim Penulis menyadari bahwa dalam proses penulisan makalah ini masih dari jauh dari kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Namun demikian, tim penulis telah berupaya dengan segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga dapat selesai dengan baik dan oleh karenanya, tim penulis dengan rendah hati dan dengan tangan terbuka menerima masukan,saran dan usul guna penyempurnaan makalah ini.

Akhirnya tim penulis berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi seluruh pembaca.

                                                                                                Tangerang, Oktober 2012

                                                                                                          Tim Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ……………………………………………….…………………...2

DAFTAR ISI………………………………………………......……...................……...…3

BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………………………...4

BAB II PEMBAHASAN…………………………………………….…………..………10

A.    GRUPOID……………………………………….………………………….……10

B.     SEMIGRUP…………………………………………………..………………….11

C.     MONOID………………………………………………..……………………….11

BAB III KESIMPULAN…………………….………………………………………..…13

DAFTAR PUSTAKA……………………………………………..……………..............14

BAB I

PENDAHULUAN

Dasar-dasar teori berikut ini sangat penting dalam pembahasan tentang teori grupoid,semigrup dan monoid.

1. Himpunan

Himpunan adalah suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.

Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan.

Contoh 1.1 :

1. Himpunan bilangan 2, 4, 6 dan 8.

2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.

3. Himpunan : Negara-negara Uni Eropa.

Secara matematik, himpunan dapat dinyatakan dengan tanda kurung kurawal dan digunakan notasi huruf besar. Jika himpunan di atas ditulis secara matematik diperoleh :

1. A = {2, 4, 6, 8 }

2. B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }

3. C = { Negara-negara Uni Eropa }

Untuk membentuk himpunan dapat digunakan metode Roster (tabelaris) yaitu dengan menyebut atau mendaftar semua anggota, seperti pada himpunan A dan B, sedangkan metode lainnya adalah metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya. Sebagai contoh penggunaan metode Rule adalah

C = { x | x negara-negara Uni Eropa }

Kalimat dibelakang garis tegak ( | ) menyatakan syarat keanggotaan.

Jika suatu obyek merupakan anggota dari suatu himpunan maka obyek itu dinamakan elemen dan notasi yang digunakan adalah ; sebaliknya jika bukan merupakan anggota dinamakan bukan elemen, dan notasi yang digunakan adalah . Sebagai contoh, jika himpunan E = {1, 3, 5, 7 }maka 3  E sedangkan 2  E. Banyaknya elemen dari himpunan A dikenal dengan nama bilangan cardinal dan disimbolkan dengan n(A). Berarti pada contoh di atas n(E) = 4.

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B), dan biasa disimbolkan dengan A B. Berarti jika A dan B ekuivalen maka dapat dibuat perkawanan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B dan sebaliknya. Pada contoh diatas himpunan A={2, 4, 6, 8} ekuivalen dengan himpunan E={1, 3, 5, 7}. Dalam hal ini jika A = B maka pasti A ~ B tetapi tidak berlaku sebaliknya.

Catatan :

Pada saat menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa :

(i) Urutan tidak diperhatikan, himpunan {2, 4, 6, 8}, {2, 8, 4, 6} dipandang sama dengan {2, 6, 4, 8}

(ii) Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {1, 1, 3, 3, 5, 7} dan {1, 3, 5, 7, 7, 7} dipandang sama dengan {1, 3, 5, 7}.

Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan semua obyek yang dibicarakan. Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai contoh jika A ={2, 4, 6, 8} maka dapat diambil himpunan semestanya U = {bilangan genap} atau U = {himpunan bilangan asli} dan lain-lain. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dalam hal ini digunakan notasi  atau { }. Sebagai contoh jika D={bilangan ganjil yang habis dibagi dua} maka D =  atau D = { }.

Himpunan bilangan

Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, 5, …. }.

Himpunan bilangan prima P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …. }.

Himpunan bilangan cacah C = {0, 1, 2, 3, 4, …. }.

Himpunan bilangan bulat Z = {…., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. }.

Himpunan bilangan Real R adalah himpunan yang memuat semua bilangan anggota

garis bilangan.

Himpunan bilangan Rasional Q = {a/b | a, b  Z dan b  0}.

Himpunan bilangan irrasional R – Q = Q^c = { x  R | x ∉ Q }.

2. Operasi biner

Dalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan

bersama dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.

Definisi I.1

Misalkan A himpunan tidak kosong.

Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengan tepat satu anggota x * y dalam A.

Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi biner yang dikenakan padanya yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (.). Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, x + y dan x .y dikawankan secara tunggal dengan suatu anggota dalam Z.

Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:

1. Terdefinisikan dengan baik(well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x,y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y.

2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y masih dalam A.

Contoh 1.2:

Diketahui N himpunan semua bilangan bulat positif.

Didefinisikan * dengan aturan x*y = x - y.

Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 = 3-5 = -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup

di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N.

Contoh 1.3 :

Didefinisikan operasi # dengan aturan x # y = x + 2y dengan x,y dalam

N = {1, 2, 3, … }

Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.

Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x + 2y memberikan hasil

tunggal untuk setiap x,y dalam N.

Untuk sebarang x,y dalam N maka jelas bahwa x + 2y masih merupakan bilangan

bulat positif. Lebih jauh 2y + x > 0 jika x > 0 dan y > 0.

Berarti hasil dari x + 2y masih merupakan bilangan positif dan akibatnya P tertutup di

bawah operasi #.

3. Hukum-hukum Aljabar

Suatu system aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi

yang didefinisikan padanya.Bersama dengan hkum-hukum yang dibutuhkan dalam

operasi.

Definisi I.2

Misalkan * operasi biner pada himpunan A.

(1)  Operasi * assosiatif jika (a * b) * c = a * (b * c) untuk semua a, b, c dalam A.

(2) operasi * komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b dalam A.

Dalam pembahasan selanjutnya hokum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan Real R sebagai aksioma (axioms) yaitu diterima tanpa bukti.

Contoh 1. 4 :

Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a * b = (1/2) a b.

Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.

Karena (a * b) * c = (1/2 a b) * c

                              =1/2((1/2 a b) c)

                              =1/4(a b) c

dan pada sisi lain

             a * (b * c) = a *(1/2) bc)

                              = (1/2)a((1/2) bc)

                              = ¼ (a b) c

untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif.

Karena a * b = (1/2) a b

= (1/2) b a = b*a.

Untuk semua a, b dalam R maka * komutatif.

Contoh 1. 5 :

Operasi  didefinisikan pada bilangan bulat Z dengan aturan a  b = a + 2b.

Akan ditunjukkan bahwa  tidak assosiatif.

Karena pada satu sisi

(a  b)  c = (a + 2b)  c = (a + 2b) + 2c

dan pada sisi lain

a  (b  c) = a  (b + 2c)

= a + 2(b + 2c)

= a + (2b + 4c)

= (a + 2b) + 4c

dari kedua hasil tersebut tidak sama untuk c  0 maka  tidak assosiatif.

Terlihat bahwa aturan untuk * tidak menjamin bahwa himpunan X tertutup di bawah operasi *. Berikut ini diberikan suatu cara untuk membuktikan bahwa suatu himpunan tertutup terhadap suatu operasi.

Untuk membuktikan sifat tertutup dari suatu sistem X dimulai dengan dua sebarang anggota yang dioperasikan dengan operasi * dan kemudian ditunjukkan bahwa hasilnya masih memenuhi syarat keanggotaan dalam X.

Untuk selanjutnya dalam tulisan ini R2 dimaksudkan himpunan semua pasangan berurutan dari bilangan real R2 = {(a,b) | a, b dalam R}.

Contoh 1. 6:

Misalkan  mempunyai aturan (a,b)  (c,d) = (a+c,b+d).

Akan ditunjukkan bahwa R² tertutup di bawah operasi  .

Untuk sebarang (a,b) dan (c,d) dalam R2 berlaku

(a,b)  (c,d) = (a+c,b+d)

dengan a+c dan b+d dalam R sehingga (a+c,b+d) dalam R².

Oleh karena itu hasilnya merupakan pasangan berurutan dan tertutup di bawah operasi .

Selanjutnya operasi < A , * > menyatakan himpunan A dan * merupakan operasi

yang didefinisikan pada A.

Definisi I.3:

(1) < A , * > memenuhi hukum identitas asalkan A mengandung suatu anggota e

sehingga e*a = a*e = a untuk semua a dalam A. Anggota A yang mempunyai sifat

demikian dinamakan identitas untuk < A , * >.

(2) < A , * > memenuhi hokum invers asalkan A mengandung suatu identitas e untuk

operasi * dan untuk sebarang a dalam A terdapat suatu anggota a’ dalam A yang memenuhi a*a’ = a’*a = e. Elemen a’ yang memenuhi sifat di atas dinamakan invers dari a.

Sebagai contoh, Z mengandung identitas 0 untuk operasi penjumlahan dan untuk setiap a dalam Z, anggota – a memenuhi a + (-a) = (-a ) + a = 0 sehingga a mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan dan < Z , + > memenuhi hukum invers. Di samping itu Z mengandung identitas 1 terhadap operasi pergandaan tetapi Z tidak mengandung invers terhadap pergandaan kecuali 1 dan -1.

Untuk membuktikan hukum identitas dilakukan dengan menduga anggota tertentu e dalam himpunan yang berlaku sebagai identitas dan kemudian menguji apakah e*a = a dan a*e = a untuk sebarang a dalam himpunan.

Untuk membuktikan hukum invers dilakukan dengan sebarang anggota x dalam himpunan yang mempunyai identitas e dan menduga invers dari x yaitu x’ dalam himpunan dan kemudian menguji apakah x * x’ = e dan x’ * x = e.

Contoh 1.7 :

Bila operasi didefinisikan seperti pada contoh I.6 maka akan dibuktikan bahwa hukum invers dan hukum identitas berlaku.

Diduga bahwa (0,0) merupakan anggota identitas.

Karena untuk sebarang (a,b) dalam R² berlaku

(0,0) + (a,b) = (0 + a, 0 + b) = (a,b)

dan (a,b) + (0,0) = (a + 0, b + 0) = (a,b) maka (0,0) identitas dalam R².

Bila diberikan sebarang (a,b) dalam R2 maka akan ditunjukkan (-a,-b) dalam R²

merupakan inversnya

Karena –a dan –b dalam R maka (-a,-b) dalam R² .

Lebih jauh lagi ,

(a,b) ⊕ (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0)

dan

(-a,-b) ⊕ (a,b) = (-a+a,-b+b) = (0,0)

sehingga (-a,-b) merupakan invers dari (a,b) dalam R² .

Contoh I.8 :

Bila * didefinisikan pada R dengan aturan a * b = ab + a maka akan ditunjukkan bahwa

< R, *> tidak memenuhi hukum identitas.

Karena supaya a * e sama dengan a untuk semua a haruslah dimiliki ae + a = a sehingga

eperlulah sama dengan 0.

Tetapi meskipun a * 0 = a maka 0 * a = 0 a + 0 = 0 yang secara umum tidak sama

dengan a.

Oleh karena itu tidak ada e dalam R yang memenuhi a * e =a dan e * a = a.

Terbukti bahwa tidak ada identitas dalam R terhadap *.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Grupoid, Semigrup, dan Monoid

Struktur aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoid, semigrup dan monoid. Himpunan yang tidak kosong dengan operasi biner disebut grupoid. Grupoid yang operasi binernya bersifat asosiatif disebut semigrup. Sedangkan semigrup yang mempunyai  elemen  identitas disebut monoid. Secara matematika definisi ketiga struktur aljabar tersebut adalah:

1.   Misalkan himpunan G ¹ Æ dan  adalah operasi biner pada G. Himpunan G bersama-sama dengan operasi biner  ditulis (G, ) disebut grupoid.

2.   Jika (G, ) suatu grupoid dan " a, b, c Î G berlaku (a b) c = a (b c) (sifat asosiatif), maka (G, ) disebut semigrup.

3.   Jika (G, ) suatu semigrup yang mempunyai  elemen  identitas,  misalnya  e,  sedemikian hingga " a Î G, berlaku  a  e = e  a = a, maka (G, ) disebut monoid.

1.    GRUPOID

Grupoid adalah struktur aljabar (algebraic structure) yang paling sederhana, yaitu himpunan yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang tertutup.

Contoh

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a * b = a + b + ab. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu grupoid.

Penyelesaian :

1.    Tertutup

                 Misalkan a, b ∈ N

                  a * b = a + b + ab ∈  N

                  maka a * b tertutup terhadap bilangan asli N. sehingga a * b merupakan grupoid.

2.     SEMIGRUP

Sistem aljabar (S, *) merupakan semigrup, jika

1.    Himpunan S tertutup terhadap operasi *.

2.    Operasi * bersifat asosiatif.

Contoh:

Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:

a * b = a + b + ab

Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.

Penyelesaian:

1. Tertutup

Ambil sebarang a, b  N, karena a, b  N, dan ab  N maka

a * b = a + b + ab  N.

Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.

2. Assosiatif

Ambil sebarang a, b, c  N, maka

(a * b) * c = (a + b + ab) * c

                  = (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c

                  = a + b + ab + c + ac + bc + abc

(a * b) * c = a *(b+c+bc)

                  = a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)

                 = a+b+c+bc+ab+ac+abc

Maka untuk setiap a,b,c  N berlaku

(a * b) * c = a * (b * c).

Jadi, ( N,*) merupakan suatu semigrup.

Jika operasi biner pada semigrup (S,*) tersebut bersifat komutatif, maka semigrup (S,*) disebut juga semigrup abel.

3.    MONOID

Suatu semigrup yang memiliki unsur satuan atau identitas  dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini :

Definisi 1 :

Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi syarat- syarat :

1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan

2. Assosiatif terhadap penjumlahan

3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan

Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 0) disebut  monoid terhadap penjumlahan

Suatu grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap  perkalian jika memenuhi syarat-syarat :

1. (G, .) tertutup terhadap perkalian

2. Assosiatif terhadap perkalian

3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian

Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian  yang mempunyai unsur satuan atau identitas  (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian.

Contoh :

1. Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z,+), bilangan  rasional (Q,+) dan bilangan (R,+), merupakan  monoid-monoid karena selain kesemuanya  memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga  memiliki unsur satuan atau identitas yaitu nol (0).

2. Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .) dan bilangan (R, .), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu satu (1).

Misal : 2 * 1 = 1 * 2 = 2 ( a * e = e * a = a )

KESIMPULAN

Struktur aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoid, semigrup dan monoid. Himpunan yang tidak kosong dengan operasi biner disebut grupoid. Grupoid yang operasi binernya bersifat asosiatif disebut semigrup. Sedangkan semigrup yang mempunyai  elemen  identitas disebut monoid.

DAFTAR PUSTAKA

1. Bhattacharya, P.B and Jain, S. K. , First Course in Rings, Field and Vector Spaces, 1977.

2. Block, N.J, Abstract Algebra with Applications, Prentice-Hall Inc, New Jersey, 1987.

3.  Ferryanto, Sg, Matematika, Himpunan dan Aljabar, Program Matrikulasi, UKSW, 1988.

4. Hungerford, T.W, Algebra, Springer-Verlag NewYork Inc, NewYork, 1974.

5. Raisinghania, MD and Anggarwal, RS, Modern Algebra