STRUKTUR
ALJABAR
GRUPOID,
SEMIGRUP , MONOID
Dosen : Yenni, M.Pd
Kelompok
2
Nama : 1. Dewi Safitri
2.
Farhanah
3.
Jumrotul Aslamiya
4.
Laeny Haryani
Kelas
: 5A1
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS
MUHAMMADIYAH TANGERANG
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji syukur ke
hadirat Tuhan Yang Maha Esa, atas segala limpahan rahmat dan karunia-Nya kepada
tim penulis sehingga dapat menyelesaikan makalah ini yang berjudul: “ Grupoid,
Semigrup dan Monoid” .
Tim Penulis menyadari bahwa didalam
pembuatan makalah ini berkat bantuan dan tuntunan Tuhan Yang Maha Esa dan tidak
lepas dari bantuan berbagai pihak untuk itu dalam kesempatan ini tim penulis
menghaturkan rasa hormat dan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua
pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini.
Tim Penulis menyadari bahwa dalam
proses penulisan makalah ini masih dari jauh dari kesempurnaan baik materi
maupun cara penulisannya. Namun demikian, tim penulis telah berupaya dengan
segala kemampuan dan pengetahuan yang dimiliki sehingga dapat selesai dengan
baik dan oleh karenanya, tim penulis dengan rendah hati dan dengan tangan
terbuka menerima masukan,saran dan usul guna penyempurnaan makalah ini.
Akhirnya tim penulis berharap semoga makalah ini dapat
bermanfaat bagi seluruh pembaca.
Tangerang, Oktober 2012
Tim
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
……………………………………………….…………………...2
DAFTAR ISI………………………………………………......……...................……...…3
BAB I PENDAHULUAN
………………………………………………………………...4
BAB II
PEMBAHASAN…………………………………………….…………..………10
A.
GRUPOID……………………………………….………………………….……10
B.
SEMIGRUP…………………………………………………..………………….11
C.
MONOID………………………………………………..……………………….11
BAB III KESIMPULAN…………………….………………………………………..…13
DAFTAR
PUSTAKA……………………………………………..……………..............14
BAB I
PENDAHULUAN
Dasar-dasar teori berikut ini sangat
penting dalam pembahasan tentang teori grupoid,semigrup dan monoid.
1.
Himpunan
Himpunan adalah
suatu kumpulan obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Obyek-obyek
dalam himpunan tersebut dinamakan anggota
himpunan.
Contoh 1.1 :
1.
Himpunan bilangan 2, 4, 6 dan 8.
2.
Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.
3.
Himpunan : Negara-negara Uni Eropa.
Secara matematik, himpunan dapat
dinyatakan dengan tanda kurung kurawal dan digunakan notasi huruf
besar. Jika himpunan di atas ditulis secara matematik diperoleh :
1.
A = {2, 4, 6, 8 }
2.
B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }
3.
C = { Negara-negara Uni Eropa }
Untuk
membentuk himpunan dapat digunakan metode Roster (tabelaris) yaitu
dengan menyebut atau mendaftar semua anggota, seperti pada himpunan A dan B,
sedangkan metode lainnya adalah metode Rule yaitu dengan menyebut syarat
keanggotaannya. Sebagai contoh penggunaan metode Rule adalah
C
= { x | x negara-negara Uni Eropa }
Kalimat
dibelakang garis tegak ( | ) menyatakan syarat
keanggotaan.
Jika suatu obyek merupakan anggota dari
suatu himpunan maka obyek itu dinamakan elemen dan notasi yang digunakan
adalah
; sebaliknya jika bukan merupakan
anggota dinamakan bukan elemen, dan notasi yang digunakan adalah
. Sebagai contoh, jika himpunan E =
{1, 3, 5, 7 }maka 3
E sedangkan 2
E. Banyaknya elemen
dari himpunan A dikenal dengan nama bilangan cardinal dan disimbolkan
dengan n(A). Berarti pada contoh di atas n(E) = 4.
Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan
himpunan B jika n(A) = n(B), dan biasa disimbolkan dengan A
B. Berarti jika A dan B ekuivalen
maka dapat dibuat perkawanan satu-satu dari himpunan A ke himpunan B dan
sebaliknya. Pada contoh diatas himpunan A={2, 4, 6, 8} ekuivalen dengan
himpunan E={1, 3, 5, 7}. Dalam hal ini jika A = B maka pasti A ~ B tetapi tidak
berlaku sebaliknya.
Catatan
:
Pada
saat menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa :
(i)
Urutan tidak diperhatikan, himpunan {2, 4, 6, 8}, {2, 8, 4, 6} dipandang sama dengan
{2, 6, 4, 8}
(ii)
Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {1, 1, 3, 3, 5, 7} dan
{1, 3, 5, 7, 7, 7} dipandang sama dengan {1, 3, 5, 7}.
Himpunan
semesta (universal set) adalah himpunan semua obyek yang dibicarakan.
Himpunan semesta dinotasikan S atau U. Sebagai contoh jika A ={2, 4, 6, 8} maka
dapat diambil himpunan semestanya U = {bilangan genap} atau U = {himpunan bilangan
asli} dan lain-lain. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
mempunyai anggota, dalam hal ini digunakan notasi
atau { }. Sebagai
contoh jika D={bilangan ganjil yang habis dibagi dua} maka D =
atau D = { }.
Himpunan bilangan
Himpunan
bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, 5, …. }.
Himpunan
bilangan prima P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …. }.
Himpunan
bilangan cacah C = {0, 1, 2, 3, 4, …. }.
Himpunan
bilangan bulat Z = {…., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. }.
Himpunan
bilangan Real R adalah himpunan yang memuat semua bilangan anggota
garis
bilangan.
Himpunan
bilangan Rasional Q = {a/b | a, b
Z dan b
0}.
Himpunan
bilangan irrasional R – Q = Qc = { x
R | x ∉ Q }.
2.
Operasi biner
Dalam aljabar tidak hanya dibahas
tentang himpunan tetapi juga himpunan
bersama
dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.
Definisi
I.1
Misalkan
A himpunan tidak kosong.
Operasi
biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengan
tepat satu anggota x * y dalam A.
Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua
operasi biner yang dikenakan padanya yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (.).
Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, x + y dan x .y dikawankan
secara tunggal dengan suatu anggota dalam Z.
Operasi
biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:
1.
Terdefinisikan dengan baik(well-defined) yaitu untuk setiap pasangan
berurutan x,y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y.
2.
A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y
masih dalam A.
Contoh 1.2:
Diketahui
N himpunan semua bilangan bulat positif.
Didefinisikan
* dengan aturan x*y = x - y.
Karena
3, 5 dalam N dan 3*5 = 3-5 = -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup
di
bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N.
Contoh 1.3 :
Didefinisikan
operasi # dengan aturan x # y = x + 2y dengan x,y dalam
N
= {1, 2, 3, … }
Akan
ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.
Jelas
bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x + 2y memberikan hasil
tunggal
untuk setiap x,y dalam N.
Untuk
sebarang x,y dalam N maka jelas bahwa x + 2y masih merupakan bilangan
bulat
positif. Lebih jauh 2y + x > 0 jika x > 0 dan y > 0.
Berarti
hasil dari x + 2y masih merupakan bilangan positif dan akibatnya P tertutup di
bawah
operasi #.
3.
Hukum-hukum Aljabar
Suatu system aljabar terdiri dari
himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi
yang
didefinisikan padanya.Bersama dengan hkum-hukum yang dibutuhkan dalam
operasi.
Definisi
I.2
Misalkan
* operasi biner pada himpunan A.
(1) Operasi * assosiatif jika (a * b) * c = a * (b
* c) untuk semua a, b, c dalam A.
(2) operasi
* komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b dalam A.
Dalam
pembahasan selanjutnya hokum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan dan
pergandaan yang didefinisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan Real R sebagai
aksioma (axioms) yaitu diterima tanpa bukti.
Contoh 1. 4 :
Operasi
* didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a * b = (1/2) a b.
Akan
ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.
Karena
(a * b) * c = (1/2 a b) * c
=1/2((1/2 a b) c)
=1/4(a b) c
dan pada
sisi lain
a * (b * c) = a *(1/2) bc)
= (1/2)a((1/2) bc)
= ¼ (a b) c
untuk
semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif.
Karena a
* b = (1/2) a b
= (1/2)
b a = b*a.
Untuk
semua a, b dalam R maka * komutatif.
Contoh 1. 5 :
Operasi
didefinisikan pada
bilangan bulat Z dengan aturan a
b = a + 2b.
Akan
ditunjukkan bahwa
tidak assosiatif.
Karena
pada satu sisi
(a
b)
c = (a + 2b)
c = (a + 2b) + 2c
dan
pada sisi lain
a
(b
c) = a
(b + 2c)
=
a + 2(b + 2c)
=
a + (2b + 4c)
=
(a + 2b) + 4c
dari
kedua hasil tersebut tidak sama untuk c
0 maka
tidak assosiatif.
Terlihat bahwa aturan untuk * tidak
menjamin bahwa himpunan X tertutup di bawah operasi *. Berikut ini diberikan
suatu cara untuk membuktikan bahwa suatu himpunan tertutup terhadap suatu
operasi.
Untuk membuktikan sifat tertutup dari suatu sistem X dimulai dengan dua
sebarang anggota yang dioperasikan dengan operasi * dan kemudian ditunjukkan
bahwa hasilnya masih memenuhi syarat keanggotaan dalam X.
Untuk selanjutnya dalam tulisan ini R2
dimaksudkan himpunan semua pasangan berurutan dari bilangan real R2 = {(a,b) |
a, b dalam R}.
Contoh 1. 6:
Misalkan
mempunyai aturan (a,b)
(c,d) = (a+c,b+d).
Akan
ditunjukkan bahwa R2 tertutup di bawah operasi
.
Untuk
sebarang (a,b) dan (c,d) dalam R2 berlaku
(a,b)
(c,d) = (a+c,b+d)
dengan
a+c dan b+d dalam R sehingga (a+c,b+d) dalam R2.
Oleh
karena itu hasilnya merupakan pasangan berurutan dan tertutup di bawah operasi
.
Selanjutnya operasi < A , * >
menyatakan himpunan A dan * merupakan operasi
yang
didefinisikan pada A.
Definisi
I.3:
(1)
< A , * > memenuhi hukum identitas asalkan A mengandung suatu anggota e
sehingga
e*a = a*e = a untuk semua a dalam A. Anggota A yang mempunyai sifat
demikian
dinamakan identitas untuk < A , * >.
(2)
< A , * > memenuhi hokum invers asalkan A mengandung suatu identitas e
untuk
operasi * dan
untuk sebarang a dalam A terdapat suatu anggota a’ dalam A yang memenuhi a*a’ =
a’*a = e. Elemen a’ yang memenuhi sifat di atas dinamakan invers dari a.
Sebagai contoh, Z mengandung identitas 0
untuk operasi penjumlahan dan untuk setiap a dalam Z, anggota – a memenuhi a +
(-a) = (-a ) + a = 0 sehingga a mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan
dan < Z , + > memenuhi hukum invers. Di samping itu Z mengandung
identitas 1 terhadap operasi pergandaan tetapi Z tidak mengandung invers
terhadap pergandaan kecuali 1 dan -1.
Untuk membuktikan hukum identitas dilakukan dengan menduga anggota
tertentu e dalam himpunan yang berlaku sebagai identitas dan kemudian menguji
apakah e*a = a dan a*e = a untuk sebarang a dalam himpunan.
Untuk membuktikan hukum invers dilakukan dengan sebarang anggota x
dalam himpunan yang mempunyai identitas e dan menduga invers dari x yaitu x’
dalam himpunan dan kemudian menguji apakah x * x’ = e dan x’ * x = e.
Contoh 1.7 :
Bila
operasi didefinisikan seperti pada contoh I.6 maka akan dibuktikan bahwa hukum
invers dan hukum identitas berlaku.
Diduga
bahwa (0,0) merupakan anggota identitas.
Karena
untuk sebarang (a,b) dalam R2 berlaku
(0,0) + (a,b) = (0 + a, 0 + b) = (a,b)
dan (a,b) + (0,0) = (a + 0, b + 0) =
(a,b) maka (0,0) identitas dalam R2.
Bila diberikan sebarang (a,b) dalam R2
maka akan ditunjukkan (-a,-b) dalam R2
merupakan
inversnya
Karena –a dan –b
dalam R maka (-a,-b) dalam R2 .
Lebih jauh lagi
,
(a,b) ⊕ (-a,-b) =
(a-a,b-b) = (0,0)
dan
(-a,-b) ⊕ (a,b) =
(-a+a,-b+b) = (0,0)
sehingga (-a,-b)
merupakan invers dari (a,b) dalam R2 .
Contoh
I.8 :
Bila
* didefinisikan pada R dengan aturan a * b = ab + a maka akan ditunjukkan bahwa
<
R, *> tidak memenuhi hukum identitas.
Karena
supaya a * e sama dengan a untuk semua a haruslah dimiliki ae + a = a sehingga
eperlulah
sama dengan 0.
Tetapi
meskipun a * 0 = a maka 0 * a = 0 a + 0 = 0 yang secara umum tidak sama
dengan
a.
Oleh
karena itu tidak ada e dalam R yang memenuhi a * e =a dan e * a = a.
Terbukti bahwa tidak ada identitas dalam
R terhadap *.
BAB II
PEMBAHASAN
A. Grupoid, Semigrup, dan Monoid
Struktur
aljabar adalah suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi
biner. Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoid, semigrup
dan monoid. Himpunan yang tidak kosong dengan
operasi biner disebut grupoid. Grupoid yang operasi binernya bersifat
asosiatif disebut semigrup. Sedangkan semigrup yang mempunyai elemen
identitas disebut monoid. Secara matematika definisi ketiga
struktur aljabar tersebut adalah:
1. Misalkan himpunan G ¹
Æ
dan
adalah operasi
biner pada G. Himpunan G bersama-sama dengan operasi biner
ditulis (G,
) disebut grupoid.
2. Jika
(G,
) suatu grupoid dan "
a, b, c Î G berlaku (a
b)
c = a
(b
c) (sifat asosiatif), maka (G,
) disebut semigrup.
3. Jika
(G,
) suatu semigrup yang mempunyai elemen
identitas, misalnya e,
sedemikian hingga "
a Î
G, berlaku a
e = e
a = a, maka (G,
) disebut monoid.
1. GRUPOID
Grupoid
adalah struktur aljabar (algebraic structure) yang paling sederhana, yaitu
himpunan yang dilengkapi dengan satu operasi biner yang tertutup.
Contoh
Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a
* b = a + b + ab. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu grupoid.
Penyelesaian :
1. Tertutup
Misalkan a, b ∈ N
a * b = a + b + ab ∈ N
maka a * b tertutup terhadap
bilangan asli N. sehingga a * b merupakan grupoid.
2. SEMIGRUP
Sistem aljabar (S, *)
merupakan semigrup, jika
1.
Himpunan
S tertutup terhadap operasi *.
2.
Operasi
* bersifat asosiatif.
Contoh:
Misalkan himpunan
bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:
a
* b =
a + b + ab
Tunjukan bahwa (N, *)
adalah suatu semigrup.
Penyelesaian:
1.
Tertutup
Ambil sebarang a, b
N, karena a, b
N, dan ab
N maka
a * b = a + b
+ ab
N.
Jadi, N tertutup
terhadap operasi biner *.
2.
Assosiatif
Ambil sebarang a, b,
c
N, maka
(a * b) * c
= (a + b + ab) * c
= (a + b + ab) + c + (a
+ b + ab) c
= a + b + ab + c + ac
+ bc + abc
(a
* b) * c = a *(b+c+bc)
= a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)
= a+b+c+bc+ab+ac+abc
Maka
untuk setiap a,b,c
N
berlaku
(a * b) * c = a *
(b * c).
Jadi, ( N,*) merupakan suatu semigrup.
Jika operasi biner pada semigrup (S,*) tersebut
bersifat komutatif, maka semigrup (S,*) disebut juga semigrup abel.
3. MONOID
Suatu semigrup yang memiliki
unsur satuan atau identitas dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini :
Definisi 1 :
Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi
syarat- syarat :
1. (G,+) tertutup terhadap
penjumlahan
2. Assosiatif terhadap
penjumlahan
3. Mempunyai unsur satuan
atau identitas terhadap penjumlahan
Dengan kata lain, semigrup
terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau
identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan
Suatu grupoid (G, .)
dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat :
1. (G, .) tertutup terhadap
perkalian
2. Assosiatif terhadap
perkalian
3. Mempunyai unsur satuan
atau identitas terhadap perkalian
Dengan kata lain, semigrup
terhadap perkalian yang mempunyai unsur satuan atau identitas (e = 1) disebut monoid
terhadap perkalian.
Contoh :
1. Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z,+), bilangan rasional (Q,+) dan
bilangan (R,+), merupakan monoid-monoid karena
selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan
atau identitas yaitu nol (0).
2. Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .) dan
bilangan (R, .), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki
sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu
satu (1).
Misal : 2 * 1 = 1 * 2 = 2 (
a * e = e * a = a )
KESIMPULAN
Struktur aljabar adalah
suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Struktur
aljabar yang paling sederhana adalah grupoid, semigrup dan monoid.
Himpunan
yang tidak kosong dengan operasi biner disebut grupoid. Grupoid yang
operasi binernya bersifat asosiatif disebut semigrup. Sedangkan semigrup
yang mempunyai elemen identitas disebut monoid.
DAFTAR PUSTAKA
1.
Bhattacharya, P.B and Jain, S. K. , First Course in Rings, Field and Vector Spaces,
1977.
2.
Block, N.J, Abstract Algebra with Applications, Prentice-Hall Inc, New
Jersey, 1987.
3. Ferryanto, Sg, Matematika, Himpunan dan
Aljabar, Program Matrikulasi, UKSW, 1988.
4.
Hungerford, T.W, Algebra, Springer-Verlag NewYork Inc, NewYork, 1974.
5.
Raisinghania, MD and Anggarwal, RS, Modern Algebra
bagus blognya , tengkiyu ... jangan lupa kunjungan baliknya ya ..
BalasHapushttp://gemarmatematika21.blogspot.com/