Matematika 5B2: Grupoid, Semigrup dan Monoid

STRUKTUR ALJABAR

“ Grupoid, Semigrup dan Monoid”

Dosen : YENNI, M.Pd

DisusunOleh: Kelompok 2

1.        DiniAlfauziah

2.        NoermaDwiRahayu

3.        Tri AniUlandary

4.        SitiRohilah

Kelas                : B 2

Semester        : V ( Lima )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH

TANGERANG

2011

KATA PENGANTAR    

Pujisyukur kami panjatkankehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia yang telahdiberikan, sehingga penulisan makalah ini dapatterselesaikan dengan sebaik-baiknya.

Pada kesempatan ini tidak lupa juga kami menyampaikan rasa terimakasih atas semuabantuan, bimbingan, dandorongan yang telah diberikan hingga terselesainya makalah ini yaitu, khususnya kepada :

1. Bapak Drs. HairulSaleh,M.Siselakuketua program studipandidikanmatematika.
2. Bapak Drs. Warsito, M.Siselakudosenpembimbingakademik program studipendidikanmatematika.
3. IbuYenni, M.Pdselakudosenmatakuliah STRUKTUR ALJABAR

Penulisanmakalahinibanyakkekurangandankesalahan yang mungkinterjadidikarenakanketerbatasanwawasan yang kami miliki.Olehkarenaitu, saran dankritik yang bersifatmembangunsangatdiharapkan.

Semogadenganterselesainyamakalahinidapatbermanfaatbagipembacadansegalaperhatiannya kami ucapkanterimakasih.

Tangerang, Oktober 2012

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.................................................................. ……………….…..i

DAFTAR ISI…………………………………................... …………………….…..          

BAB I      PENDAHULUAN…………………..………… …………………….........1

1.1    OperasiBinerTerhadapPenjumlahan….……………….......................1

1.2    OperasiBinerTerhadapPerkalian…………………...………..………..2

BAB II    PEMBAHASAN……………………..…………………………...……….3

              Definisi 2.1…………………………………………………………...…..…3

              Definisi 2.2……………………………………………………………….....4

              Definisi 2.3………………………………………………………….………5

               Definisi 2.4………………………………………………………….………6

               Definisi 2.5……………………………………………………….…………7

BAB III   PENUTUP…………………………………………………………….…..9

A.    Kesimpulan………………...…………………………….……………9

B.     Saran………………………...……………... ………….……………..9

DAFTAR PUSTAKA………………..……...………………….. ………………….10                             

           

         

BAB I

PENDAHULUAN

Padabab 1 iniberisi tentang StrukturAljabar yang yang sederhananya itu himpunan dengan satu operasi biner yang tertutup. kita akan mempelajari definisi dan contoh-contoh dari grupoida , semi grup dan monoida.

Pembahasansatu-persatudisambungdengandefinisidaribagian-bagianoperasiitusendiri (grupoida, semigrupdanmonoida ) serta criteria dasardarimasing-masingoperasitersebut. Selain itu akan membahas pula mengenai tentang semi grup abel dan monoid abel.

Beberapa teorema penting perihal sifat-sifat grup akan dikemukakan secara lugas dan diperkaya dengan ilustrasi contoh.

1.1 operasi biner terhadap pejumlahan

Perhatikan himpunan bilangan bulat Z. Untuk sembarang dua bilangan bulat penjumlahan keduanya juga ada di Z. Untuk hal ini kita mengatakan Z tertutup terhadap penjumlahan (+) . Tidak hanya itu kita juga mempunyai fakta bahwa untuk semua x,y, z berlaku sifat-sifat:

1.Tertutup

Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka penjumlahan a dan b tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a + b Z
2. Komutatif
Misalkan a,b Z maka a + b = b + a
3. Assosiatif
Misalkan a,b,c Z maka (a + b) + c = a + (b + c)
4. Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan a Z untuk penjumlahan unsur satuan atau identitas e = 0 sehingga a + e = a + 0 = a dan e + a = 0 + a = a
5. Adanya unsur balikan atau invers
Misalkan a Z untuk penjumlahan unsur balikan atau invers dari a adalah (-a), sehingga a + (-a) = a – a = 0 = e dan (-a) + a = -a + a = 0 = e

Kita melihat bahwa jika penjumlahan ini diterapkan pada himpunan bilangan bulat non-negatif saja maka sifat yang ketiga tidaklah terpenuhi. Dari pengamatan ini kita bisa mengatakan bahwa Z mempunyai struktur yang menarik dan penting. Oleh karena itu kita dorong untuk memperumum struktur yang kita temui pada himpunan bilangan bulat diatas.

1.2 Operasi biner terhadap perkalian

Perhatikan himpunan bilangan bulat Z. Untuk sembarang dua bilangan bulat perkalian keduanya juga ada di Z. Untuk hal ini kita mengatakan Z tertutup terhadap perkalian  (.) . Tidak hanya itu kita juga mempunyai fakta bahwa Sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap perkalian (Z, ) atau (Z,.) adalah :

1. Tertutup

Misalkan a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka perkalian a dan b tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a . b Z

2. Komutatif

Misalkan a,b Z maka a . b = b . a

3. Assosiatif

Misalkan a,b,c Z maka (a . b) . c = a . (b . c)

4. Adanya unsur satuan atau identitas

Misalkan a Z untuk perkalian unsur satuan atau identitas e = 1 sehingga a . e = a . 1 = a dan e . a = 1+a=a

5. Adanya unsur balikan atau invers

Misalkan a Z untuk perkalian unsur balikan atau invers dari a adalah

(a-1)= , sehingga a + (a-1) = a . = 1 = e dan a-1 . a= .a = 1 = e

BAB II

PEMBAHASAN

Diberikan himpunan tidak kosong (G) bersama dengan suatu operasi “o”. Untuk selanjutnya pasangan himpunan dan operasi tersebut ditulis dengan (G,*).

1. (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G
2. (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c∈ G,a*(b*c) = (a*b)*c
3. (Unsur Identitas)Ada e ∈ G sehingga untuk setiap a ∈ G, a*e = e*a = a
4. (Unsur Invers) Untuk setiap a ∈ G ada ∈ G sehingga a *  =  * a = e
5. (Komutatif) Untuk setiap a, b ∈ G, a * b = b * a

Definisi 2.1

2.1.1 Grupoid

Grupoid yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner yang tertutup dan merupakan struktur aljabar yang paling sederhana.

2.1.2 Syarat Grupoid :

(G, *) disebut grupoid jika memenuhi aksioma 1.

1.      (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G

2.1.3 Contoh Soal Grupoid:

Himpunan dengan operasi penjumlahan.

Diketahui :

Himpunan bilangan bulat Z = (.., -2,-1,0, 1, 2,..) terdapat operasi binner penjumlahan (+).

Penyelesaian :

a,b ∈ Z → a + b ∈ Z

               = 4 + 2∈ Z

               = 6∈ Z (tertutup)

Maka, penjumlahan himpunan bilangan tersebut dikatakan grupoid karena mempunyai syarat tertutup.

Dalam pengoperasian pembagian pada bilangan cacah hal ini tidak berlaku, karena tidak memenuhi syarat grupoid, yaitu tertutup.

Definisi 2.2

2.2.1 Semigrup

Semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner. Semigrup merupakan grupoid yang memenuhi syarat assosiatif.

2.2.2 Syarat Semigrup :

(G, *) disebut semigrup jika memenuhi Aksioma 1 dan 2, yaitu:

1.      (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G

2.      (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G, a*(b*c) = (a*b)*c

2.2.3 Contoh Soal Semigrup :

Selidikilah (W,+)

Penyelesaian :

W = { 0,1,2,3,..)

a, b ∈ W → a + b ∈ W

               = 3 + 2 ∈ W

               = 5 ∈ W           (tertutup)

a, b, c ∈ W → (a + b ) + c = a + (b + c ) ∈ W

                           (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)

                                       6 = 6                (assosiatif)

Maka, terbukti bahwa himpunan bilangan cacah merupakan semigrup karena memenuhi syarat tertutup dan assosiatif.

2.2.4 Contoh Soal Semigrup

Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley

sebagai berikut :

Tabel 2.1.

Daftar Cayley suatu grupoid

*	A	B	c	d
A	B	C	d	a
B	C	D	a	b
C	D	A	b	c
D	A	B	c	d

Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.

Penyelesaian :

Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.

Misalkan x = a, y = a dan z = a

(x . y) . z = (a . a) . a

            = b . a

            = d

x . (y . z) = a . (a . a)

            = a . b

            = c

didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c

sehingga (x . y) . z ≠x . (y . z)

Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.

Definisi 2.3

2.3.1 Semigrup Abel

Semigrup Abel adalahsemigrupyang memenuhi syaratkomutatif.

2.3.2 Syarat Semigrup Abel

(G, *) disebut semigrupjika memenuhi Aksioma 1 , 2, dan 5 yaitu :

1.      (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G

2.      (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c  G, a*(b*c) = (a*b)*c

3.      (Komutatif) Untuk setiap a, b  G, a*b = b*a

2.3.3 Contoh Soal  Semigrup Abel :

Selidikililah (W, + )

Penyelesaian :

a, b  W  a + b  W

               = 2 +6  W

               = 8  W           (tertutup)

a, b, c  W (a + b) + c = a + (b + c)  W

                           (2+6) +3 = 2 + (6+3)  W

                                       11 = 11            (assosiatif)

a, b  W  a + b = b +a   W

               2 + 6 = 6 + 2

                         8 = 8      (komutatif)

Maka (W, + )adalahsemigroup abel

Definisi 2.4

2.4.1 Monoid

Monoid suatu struktur aljabar dengan tiga operasi binner, dikatakan monoid apabila suatu semigrup memenuhi unsur satuan atau identitas.

2.4.2 Syarat Monoid :

(G, *) disebut semigrup jika memenuhi Aksioma 1 , 2 dan 3, yaitu :

1.      (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G

2.      (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G,( a*b)*c = a*(b*c)

3.      (Unsur Identitas)Ada e ∈ G sehingga untuk setiap a ∈ G, a*e = e*a=a

Dengan kata lain unsur satuan atau identitas terhadap operasi penjumlahan adalah nol (0) dan pada operasi perkalian adalah (1).

2.4.3 Contoh Soal Monoid :

Himpunan bilangan bulat Z = {.., -2,-1,0, 1, 2,..}

terdapat operasi binner perkalian (*).

Penyelesaian :

a,b ∈ Z → a*b ∈ Z

               = 4*2 ∈ Z

               = 8∈ Z (tertutup)

a, b, c ∈ Z →(a*b)*c = a*(b*c)∈ Z

                           (4*2)*1 = 4*(2*1) ∈ Z

                                       8 = 8 ∈ Z         (assosiatif)

a, e ∈ Z →a*e = e*a = a∈ Z

               4*1 =1*4 = 4 ∈ Z        (unsuridentitas)

Definisi 2.5

2.5.1 Monoid Abel

Monoid Abel adalahMonoid yang memenuhi syaratkomutatif.

2.5.2 Syarat Monoid Abel

(G, *) disebut semigrup jika memenuhi Aksioma 1 , 2, 3 dan 5 yaitu :

1.      (Tertutup) Untuk setiap a,b ∈ G, a * b ∈ G                 

2.      (Assosiatif) Untuk setiap a, b, c ∈ G,( a*b)*c = a*(b*c)

3.      (Unsur Identitas) Ada e ∈ G sehingga untuk setiap a ∈ G, a*e = e*a = a

4.      (Komutatif) Untuk setiap a, b  G, a*b = b*a

Dengan kata lain unsur satuan atau identitas terhadap operasi penjumlahan adalah nol (0) dan pada operasi perkalian adalah (1).

2.5.3 Contoh Soal Monoid Abel :

Selidikilah( Z,*)

Penyelesaian :

a, b  Z  a* b  Z

         5*2 = 10 ∈ Z         (tertutup)

a, b, c  Z (a* b)* c = a* (b* c) Z

               (5*2)*1 = 5*(2*1) ∈ Z

               10 = 10                        (assosiatif)

e Z  a*e = e*a = a

               5*1 = 1*5 = 5              (unsuridentitas)

a, b  Z  a + b = b + a   Z

               5 + 2 = 2 + 5

               7 = 7                (komutatif)

Maka (Z,*) adalahMonoidabel

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

1.      Suatu struktur aljabar dengan satu operasi bineryang paling sederhana dikatakan grupoid jika memenuhi syarat :

ü  (G,*) tertutup

2.      Suatu grupoid (G,*) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat :

ü  (G,*) tertutup

ü  Assosiatif

Atau grupoid yang mempunyai syarat assosiatif disebut semigrup.

Namunjikasemgrupmemilikisyaratkomutatifmakadisebutsebagaisemigrupabel

3.      Suatu grupoid (G,*) dikatakan monoid jika memenuhi syarat-syarat :

ü  (G,*) tertutup

ü  Assosiatif

ü  Mempunyai unsur satuan atau identitas

Dengan kata lain, semigrup yang mempunyai unsur satuan atau

identitas disebut monoid.Selainitumonoidbisadikatakansebagaimonoidabeljikamemenuhisyaratkomutatif.

3.2 Saran

Makalah ini adalah tak lebih sebagai refleksi diri, bercermin untuk membenahi diri sehingga menjadikan semua pengalaman tersebut sebagai teladan dan tahap lanjut untuk lebih baik lagi.

DAFTAR PUSTAKA

1.      Soebagio-A, Suharti dan sukirman 1993. Struktur aljabar .Jakarta : universitas terbuka,Depdikbud.

2.      www.hhtp google,bahan ajar struktur aljabar