Matematika 5B2 : Relasi Ekivalen dan Operasi Biner

RANGKUMAN STRUKTUR ALJABAR

Nama          : Nurwulan Lestari

Kelompok   : 1 (Satu)

Kelas          : 5B2 (Malam)

NIM            : 10.84.202.178

Fak/Jur       : FKIP/Matematika

Relasi Ekuivalen dan Operasi Biner

A.                       Relasi Ekuivalen

Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B) dan biasa disimbolkan dengan AB, Berarti jika A dan B ekuivalen maka dapat dibuat perlawanan satu-satu dari himpunan A ke Himpunan B dan sebaliknya.

Dan Relasi Ekuivalen memiliki sifat – sifat yaitu Refleksif. Simetrik,Transitif.

a)      Refleksif : Jika (a,a)  R setiap a  A

Contoh : Himpunan A = {1,2,3,4}, maka :

ü  R = {(1,1),(1,2),(2,3),(3,3),(4,4)}, bukan relasi refleksif karena (2,2)  R.

ü  R = {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}, adalah relasi refleksif .

ü  R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}, bukan relasi refleksif , karena (4,4)

b)      Simetrik : Jika (b,a)  R kalau (a,b)  R untuk (a,b)  A

Contoh : Himpunan  A= {1,2,3,4,}

ü  R = {(1,1),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} relasi Simetrik

ü  R = {(1,1)} Relasi simetrik sekaligus antisimetrik

ü  R = {(1,3),(3,2),(2,1) relasi yang antisimetrik

ü  R = {(4,4),(3,3),(1,4) relasi yang antisimetrik

c)      Transitif : Jika (a,b)  R maka (b,c)   R maka (a,c)  R, untuk a,b,c  A

Contoh : Himpunan A = {1,2,3,4}, maka :

ü  R = {(1,2),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)} adalah relasi yang transitif

ü  R = {(1,3),(3,2),(2,1)} adalah relasi yang tidak transitif karena (1,2)  R

ü  R = {(2,4),(4,3),(2,3),(4,1)} adalah relasi yang tidak transitif karena (4,1)  R

B. Operasi Biner

Operasi biner adalah operasi hitung pada bilangan, operasi biner dapat dipandang sebagai aturan yang mengaitkan dua elemen, dapat pula dipandang sebagai suatu pemetaan yang keduanya mempunyai pengertian yang sama. Notasi biner dapat berupa : o,*,#  contoh dalam modul ini menggunakan o (bundaran) disebut operasi biner apabila semua anggota a,b S, ( a o b )  S, operasi o pada S bersifat tertutup atau operasi

o : S  S          S  merupakan pemataan artinya o (a,b) = a o b . Penjumlahan perkalian dan pengurangan adalah contoh dari operasi biner. Misalkan Q adalah himpunan bilangan Rasional untuk setiap a,b ϵ Q maka berlaku:

1. (a + b) ϵ Q dan (b + a) ϵ Q

2. (a x b) ϵ Q dan (b x a) ϵ Q

3. (a – b) ϵ  Q dan (b – a) ϵ Q

Penjumlahan, perkalian dan pengurangan adalah contoh operasi biner

Pada Q.

Contoh            : Dalam himpunan A= {2,4,6,8,….,} merupakan himpunan bilangan asli genap yang dipandang dengan operasi penjumlahan (+), karena semua bilangan genap yang dijumlahkan akan menghasilkan bilangan genap juga. Dan tentu merupakan operasi biner dalam penjumlahan.

Perhatikan S = {a, b, c, d, e} dan operasi o pada C didefinisikan seperti tabel berikut :

о	a	b	c	d	e
a	a	b	c	d	e
b	b	c	d	e	a
c	c	d	e	a	b
d	d	e	a	b	c
e	e	a	b	c	d

d yang dilingkari adalah hasil dari b о c dan dapat ditulis b о c = d

Jenis – Jenis Operasi Biner :

1.      Komutatif

Operasi biner o pada S, komutatif bila ∀ x, y ∈  S, x o y = y o x

Contoh :

N = { 1,2,3,4........ }

Perkalian dan pengurangan  pada himpunan ini bersifat komutatif , tetapi pembagian pada himpunan ini tidak bersifat komutatif.

Contoh : 1 + 2 = 2 + 1 jawabannya adalah 3 yang sama – sama bilangan asli.

Tapi untuk pembagian tidak termasuk dalam komutatif karena 42 24.

2.      Asosiatif

Operasi biner o pada S bersifat asosiatif bila ∀ x, y, z ∈ S, (x o y) o z = x o (y o x)

Contoh  :

B= { 1,2,3,4.......}

Perjumlahan dan perkaliannya memiliki sifat assosiatif.

Contoh :

(3 + 4) + 7 = 3 + (4 + 7) hasilnya  14 (bilangan bulat)

(4 x 2) x 3 = 4 x (2 x 3) hasilnya  24  (bilangan bulat)

Maka  bersifat assosiatif 

3.      Elemen identitas

Suatu himpunan S dikatakan mempunyai elemen identitas (elemen netral) terhadap operasi biner o bila dan hanya bila ada elemen u ∈  S sedemikian hingga untuk  setiap x ∈ S berlaku :         x o u = u o x = x.

Misalkan P adalah himpunan semua matriks bujur sangkar berordo 2. Diketahui bahwa :  

  

Maka  setiap bilangan yang di kali dengan elemen identitas akan memiliki nilai nya.