Pgsd F: Bilangan

TUGAS KONSEP DASAR MATEMATIKA 1

(MATERI)

BILANGAN ASLI,CACAH,BULAT,DAN KOMPLEKS

KELOMPOK II

DISUSUN OLEH:

1.     SITI SA’ADAH

2.     JASMINE

3.     UMAM

4.     ITA

5.   MARINA

KELAS: 1 F(SEMESTER 1)

PRODI: PGSD

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

2012

Bilangan Asli,Bilangan Bulat,Bilangan Cacah,Bilangan Kompleks.

1.      Pengertian Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep dalam matematika yang dipergunakan untuk melakukan pencacahan dan pengukuran. Simbol atau lambang yang dipakai untuk mewakili sebuah bilangan dinamakan sebagai angka atau lambang bilangan. Konsep bilangan dalam matematika selama bertahun-tahun lamanya sudah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

a.      Bilangan Asli

Bilangan Asli merupakan bilangan yang dimulai dari angka satu (1) dan bertanbah satu. Pada garis deret ukur bilangan matematika yang di mulai dari angka satu bertambah satu ke arah kanan (1,2,3,4,5,...).

Bilangan asli, Dalam matematika terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan bilangan asli. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.
Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan bilangan prima, dipelajari dalam teori bilangan. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.
Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indera manusia, tetapi bersifat universal. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui aksioma Peano (sebagai ilustrasi, lihat aritmetika Peano).
Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.
penulisan
Para ahli matematika menggunakan N atau  untuk menuliskan himpunan seluruh bilangan asli. Himpunan bilanan ini bisa dikatakan tidak terbatas.

Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan          bilangan atau tidak, seringkali dalam penulisan ditambahkan indeks  Indeks "0" untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks "" atau "" ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan

N = { 1,2,…}

b.      Bilangan Bulat terdiri dari bilangan cacah positif (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...)

v  Bilangan Positif

Bilangan Positif adalah bilangan yang berada pada deret ukur garis bilangan yang dimulai dari Nol ke arah kanan tanpa batas {0,1,2,3,...} juga meliputi angka dibelakang koma {(0,1), (0,2), (0,3), ...} dan seterusnya.

v  Bilangan Negatif

Bilangan Negatif adalah negasi atau kebalikan dari bilangan positif, yaitu bilangan yang berada pada deret ukur garis bilangan yang dimulai dari -1 ke arah kiri tanpa batas {-1, -2, -3, -4, ...} juga meliputi angka di belakang koma {(-1,0), (-1,1), (-1,2), (-1,3), ...} dan seterusnya.

adalah sama dengan 0 dan tidak dimasukkan lagi secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z (atau ), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").

v  sifat-sifat operasi bilangan bulat

Penambahan Perkalian

Asosiativitas: a + (b + c)  =  (a + b) + c

           a × (b × c)  =  (a × b) × c

Komutativitas: a + b  =  b + a a × b  =  b × a

Distribusivitas: a × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)

Tidak ada pembagi nol: jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0 (atau keduanya) itu termasuk kedalam bilangan bulat.

c.       Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0.Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. 
Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :

Himpunan bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, ...}

Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}

Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}

Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}

Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}

v  Sifat Operasi pada bilangan cacah

v  Komutatif ( Pertukaran )

Dalam operasi penjumlahan dan perkalian akan menghasilkan nilai yang sama jika kita melakukan pertukaran seperti berikut.

Contoh

v  Asosiatif (Pengelompokan)

Asosiatif berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian. Pengelompokan ditandai dengan kurung buka dan kurung tutup. Cara pengerjaan operasi ini adalah mempunyai tanda kurung terlebih dahulu.

Contoh

v  Distributif (Penyebaran)

Coba perhatikan dibawah ini. Dengan distributif maka kita akan mengalikan atau membagi b dan c dengan a.

Contoh

   

d.      Bilangan Riil/Real

Pada matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi Bilangan Rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b dimana a bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0

Contoh :

{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

Bilangan pecahan/ pecahan-pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional.

Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).

dimana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari segala bilangan-bilangan lain yang didalamnya sudah mencakup seperti: bilangan bulat,bilangan asli,bilangan cacah,

bilangan prima,

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional  seperti 42 dan −23/129, dan Bilangan Irasional merupakan bilangan riil yang tidak dapat dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b,dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional atau kebalikan dari bilangan rasional, seperti π dan sqrt2. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

e.       Bilangan Imajiner

Definisinya, bilangan yang dinyatakan dengan "i"  dan di defenisikan sebagai i = -1 atau i = akar -1 . akar -2 adalah bilangan irasional, tetapi akan -2 merupakan bilangan imajiner karena tidak ada bilangan riil jika di kuadratkan menghasilkan -2.

Bilangan Imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i ² = −1. Bilangan ini biasanya merupakan bagian dari bilangan kompleks. Selain bagian imajiner, bilangan kompleks mempunyai bagian bilangan riil. Secara definisi, (bagian) bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:

atau secara ekivalen

atau juga sering dituliskan sebagai

.

f.       Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk a+bi dimana a dan b adalah bilangn riil dan i adalah bilangan imajiner.

Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, dimana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

v  Notasi dan operasi

Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau .

Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks:

Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan i 2 = −1:

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

(a + bi) − (c + di) = (a−c) + (b−d)i

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bd i 2 = (ac−bd) + (bc+ad)i

Daftar Pustaka

Departemen Pendidikan dan Kebudayaan .1993. Kurikulum Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Garis-Garis Besar Program Pengajaran (GBPP) Bidang Studi Matematika .Jakarta:Depdikbud.