Sabtu, 13 Oktober 2012

Matematika 5B2: Grup, Subgrup dan Sifat-sifatnya


MAKALAH
GRUP, SUBGRUP
DAN SIFAT – SIFATNYA
Diajukan Untuk Memenuhi Salahsatu Tugas Mata Kuliah Struktur Aljabar
Dosen : YENNI, M.Pd
http://profile.ak.fbcdn.net/hprofile-ak-snc6/277074_216224058428248_6605189_n.jpg








DI SUSUN OLEH KELOMPOK 3
NAMA                               NPM
1.     Dedi Supriyatna           10.84.202.009
2.     Fifi Wulandari              10.84.202.019
3.     Evi Rosmaya                10.84.202.067
4.     Yuli Setyaningsih          10.84.202.102
5.     Widda Maula Azwa      10.84.202.074

SEMESTER/ KELAS : 5B2
JURUSAN : PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG
2012

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh.

Alhamdulillahirabbilalamin, banyak nikmat yang Allah berikan, tetapi sedikit sekali yang kita ingat. Segala puji hanya layak untuk Allah Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul ”GRUP, SUB GRUP DAN SIFAT - SIFATNYA”.
Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1.      Kepada ibu Yenni, M.Pd, selaku dosem mata kuliah struktur aljabar.
2.      Rekan – rekan mahasiwa matematika 5B2
Meskipun penulis berharap isi dari makalah ini bebas dari kekurangan dan kesalahan, namun selalu ada yang kurang. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar skripsi ini dapat lebih baik lagi. Akhir kata penulis berharap agar makalah ini bermanfaat bagi semua pembaca.


Tangerang, Oktober 2012



Penyusun



DAFTAR ISI

                                                                    
                                                                                                                          Halaman
KATA PENGANTAR.................................................................................................... i
DAFTAR ISI................................................................................................................. ii
BAB I      PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah........................................................................... 1
B. Rumusan Masalah.................................................................................... 1
C. Tujuan penulisan...................................................................................... 1

BAB II     PEMBAHASAN GRUP, SUBGROUP DAN SIFAT - SIFATNYA
A. Grup........................................................................................................ 2
B. Sifat – sifat grup....................................................................................... 3
C. Subgrup.................................................................................................... 4
D. Sifat – sifat subgrup................................................................................. 6

BAB IV    KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan.............................................................................................. 8
B. Saran........................................................................................................ 8

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................... 9


  
BAB I
PENDAHULUAN
A.    Latar Belakang Masalah
Dewasa ini dunia pendidikan mengalami perkembangan yang sangat pesat, dari mulai perkotaan sampai perdesaan, ini di tandai adanya kebutuhan yang sangat meningkat akan adanya perkembangan pendidikan.
Dalam proses pembelajarannya, ada beberapa anak – anak yang rela menghabiskan waktunya setiap hari demi ilmu yang kurang di dalam kelas, misalnya bimbel, less dan sejenisnya, beberapa mata pelajaran yang di bimbelkan di antaranya matematika, banhasa inggris dan computer.
Di dalam matematika banyak sekalai pembahasanya baik setingkat sekolah dasar, sekolah menengah pertama dan atas, aljabar merupakan materi yang wajib di ajararkan  kepada siswa baik tingkatan sekolah dasar maupun sekolah menengah. Dalam pembahasan struktur aljabar ada materi yang berkaitan tentang aljabar seperti grup, subgroup dan sifat – sifatnya.

B.     Rumusan Masalah
Dari penjabaran latar belakang masalah di atas dapat dirumuskan masalah – masalah yang akan di bahas, di antaranya sebagai berikut :
1.      Bagaimana cara mebuktikan suatu himpunan merupakan grup?
2.      Bagaimana sifat – sifat yang dimiliki oleh grup?
3.      Bagaimana hubungan antara subgrup dan grup?

C.     Tujuan Penulisan
Makalah ini di buat bertujuan untuk :
1.      Dapat menjadi salah satu bahan referensi dalam proses pembelajaran
2.      Sebagai salah satu tugas yang di berikan kepada kelompok kami



BAB II
PEMBAHASAN
GRUP, SUB GRUP DAN SIFAT – SIFATNYA

A.    GRUP
Struktur aljabar adalah suatu himpunan tidak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi  biner.  Jika himpunan  S dilengkapi  dengan  satu operasi  biner * maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*) dan jika S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan o maka struktur aljabar tersebut dinyatakan (S,*, o) atau (S, o,*).
Definisi 1:
1.      Operasi  biner * pada S adalah  jika "a, b  Î S berlaku a*b  Î S, atau sering dikatakan Operasi * pada S bersifat tertutup.
2.      Jika Operasi  * pada S tertutup maka (S,*)  disebut  Grupoid  yaitu struktur aljabar dengan satu operasi yang tertutup (biner).
3.      Operasi biner * pada S dikatakan assosiatif jika "a, b, c Î S,  (a*b)*c = a*(b*c).
4.      Grupoid (S,*) disebut semigrup jika Operasi biner * pada S assosiatif
5.      Himpunan S terhadap operasi * dikatakan mempunyai elemen identitas e jika "e Î S, "a Î S,  a*e = e*a = a
6.      Semigrup (S,*) disebut monoid jika S terhadap * mempunyai elemen identitas e.
7.      Himpunan S terhadap operasi * dikatakan komutatif jika "a, b Î S,  a*b = b*a
Definisi 2 ;
Misalkan  G adalah himpunan  tidak kosong dilengkapi  dengan  operasi maka struktur aljabar  (G,.) disebut Grup jika dipenuhi aksioma-aksioma berikiut :
a.       Tertutup, artinya "a, b Î G berlaku a.b Î G
b.      Asosiatif, artinya "a, b, c ÎG berlaku (a.b).c = a.(b.c)
c.       Mempunyai elemen identitas ditulis e, artinya ("a Î G) a.e = e.a =a
d.      Setiap elemen mempunyai invers dinotasikan a-1 adalah invers dari a, artinya ("a Î G) ("a-1Î G) sehingga a-1.a = a.a-1 = e
B.     SIFAT – SIFAT GRUP
Teorema :
Jika (G,*) merupakan grup maka berlaku :
1.      Ketunggalan elemen identitas
2.      Ketunggalan elemen invers
3.      Sifat kanselasi atau pelenyapan atau penghapusan : "a, b, c Î G berlaku
                    i.            jika a * b = a * c maka b = c , disebut kanselasi kiri
                  ii.            jika a * c = b * c maka a = b, disebut kanselasi kanan
4.      persamaan-persamaan a * x = b dan y * a = b mempunyai penyelesaian tunggal
5.      "a, b Î G bersifat : i. (a-1)-1 = a dan ii. (a * b)-1 = b-1 * a-1
PEMBUKTIAN :
3.i. Diketahui (G,*) adalah grup dan a Î G maka ada a-1Î G sehingga
a * a-1 = a-1 * a = e, dengan e elemen identitas dari G. menurut ketentuan
a * b = a * c maka
a-1 * (a * b) = a-1 * (a * c)
(a-1 * a) * b = (a-1 * a) * c              sifat asosiatif
e * b = e * c  dengan a-1 * a = e
b = c
Pertama dibuktikan a * x = b mempunyai penyelesaian
Diketahui (G,*) adalah grup dan a Î G maka ada a-1Î G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e, dengan e elemen identitas dari G,
dari ketentuan  a * x = b maka a-1 * (a * x) = a-1 * b
Û (a-1 * a) * x = a-1 * b
Û  e * x = a-1 * b
Û x = a-1 * b Î G
jadi a-1 * b adalah penyelesaian dari persamaan a * x = b
4. Selanjutnya dibuktikan ketunggalan penyelesaian persamaan a * x = b.
Misalkan persamaan a * x = b mempunyai penyelesaian x1 dan x2 maka berlaku :
a * x1 = b dan a * x2 = b sehingga a * x1 =  a * x2
Û a-1 * (a * x1) = a-1 * (a * x2)
Û (a-1 * a) * x1 = (a-1 * a) * x2
Û e * x1 =  e * x2
Û x1 =  x2
5.      Ditunjukkan "a Î G,  (a-1)-1 = a
(G,*) adalah grup dan a Î G maka ada a-1Î G sehingga
a * a-1 = a-1 * a = e ………(1)
dengan e elemen identitas dari G. Karena a-1Î G maka ada (a-1)-1Î G sehingga (a-1)-1 * a-1 = a-1 * (a-1)-1 = e……...(2)
dari (1) dan (2) diperoleh :  a-1 * a = a-1 * (a-1)-1 dengan sifat 5.i. diperoleh
a = (a-1)-1

C.     SUBGRUP
1.      Pengertian subgrup
Definisi :
Misalkan (G,*) suatu grup, H disebut subgrup dari G jika H kompleks dari G dan  (H,*) merupakan  suatu  grup.    H  subgrup dari  grup G jika H kompleks dari G dan H juga suatu grup terhadap operasi yang sama pada G.
Contoh :
1.      G = (1, -1, i, -i } dengan i = √-1 maka (G,x) merupakan grup dan H = {1, - 1} adalah subgrup dari G karena H ≠ Φ, H Ì G sehingga H kompleks dari (H,x) juga suatu grup.
2.      (Z,+) merupakan subgrup dari (Q,+)
3.      (Q – {0},x) merupakan subgrup dari (R – {0},x)
4.      Misalkan  2Z  = {x  |  x = 2n,  n  Π Z } =  { …, -2, 0, 2, …  } maka (2Z,+) subgrup dari (Z,+)
2.      Teorema tentang Subgrup
Teorema 1 :
Misalkan G adalah grup dan H kompleks dari G
H subgrup dari G jika dan hanya jika ("a, b Î H) berlaku i. ab Î H dan ii. a-1  Î H.
Bukti
Diketahui G adalah grup dan H kompleks dari G
(Þ) H subgrup dari G maka H juga merupakan grup sehingga ("a, b Î H) pasti berlaku i. ab Î H dan ii. a-1Î H
(Ü) "a, b Î H berlaku i. ab Î H dan ii. a-1Î H.
Akan  ditunjukkan  H  subgrup dari  G berarti  H  merupakan  grup,  sebagai berikut :
·         Tertutup diketahui dari i
·         Asosiatif : ambil sebarang x, y, z Î H maka x, y, z Î G karena H Ì G dan G adalah grup maka berlaku (xy)z = x(yz)
·         Ada  elemen  satuan : dari ii.  diketahui          "a        Π H berlaku a-1Π H  dan menurut i. berlaku aa-1Î H dan aa-1 = e maka e Î H
·         Setiap elemen dalam H mempunyai invers diketahui dari ii.
Teorema 2 :
Misalkan G adalah grup dan H kompleks dari G
H subgrup dari G jika dan hanya jika "a, b Î H berlaku ab-1Î H.
Bukti :
Diketahui G adalah grup dan H kompleks dari G
(Þ) H subgrup dari G sehingga H juga merupakan grup Akan ditunjukkan "a, b Î H berlaku ab-1Î H, sebagai berikut :
Ambil sebarang a, b Î H, karena H grup maka terdapat b-1Î H sehingga a, b-1Î H dan H mempunyai sifat tertutup maka ab-1Î H
(Ü) "a, b Î H berlaku ab-1Î H. Akan ditunjukkan H subgrup yakni H merupakan grup, sebagai berikut :
Ambil sebarang c Î H maka cc-1Î H (diketahui)
cc-1 = e maka e Î H   ………………………………………………    (*1)
e, c Î H maka ec-1 = c-1Î H (diketahui)...…………………………    (*2)
Ambil sebarang a, b Î H, menurut (**) b-1Î H, jika a, b-1Î H maka a(b-1)-1Î H.
Karena a(b-1)-1 = ab maka ab Î H, jadi H tertutup ………………..     (*3)
Jelas  bahwa H  mempunyai  sifat  asosiatif karena H Ì  G maka "x, y, z Π H pasti  x, y, z Î G dan G adalah grup maka berlaku (xy)z = x(yz) …   (*4)
Dari  (*1), (*2),(*3), dan  (*4) terbukti  H merupakan  grup yang  berarti  H subgrup dari G.

D.    SIFAT – SIFAT SUBGRUP
Teorema 1 :
Misalkan G suatu grup
Jika H subgrup dari G maka i. HH = H dan ii. H-1= H
Bukti :
Diketahui G grup dan H subgrup dari G, harus dibuktikan
i.                    HH = H  ( HH Ì H dan H Ì HH)
·         Ambil sebarang x Î HH berarti x = ab untuk suatu a, b Î H dan karena H subgrup maka ab = x Î H. Jadi " x Î HH Þ x Î H atau HH Ì H
·         Ambil sebarang h Î H, dan H subgrup maka e Î H sehingga h = he  Î HH.
Jadi "h Î H Þ h Î HH atau H Ì HH
ii.                  Bukti bahwa H-1 = H
Teorema 2 :
Misalkan  G suatu  grup,  sedangkan H  dan  K  masing - masing  subgrup dari  G, maka : HK merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.
Bukti :
Diketahui G grup, H subgrup dari G dan K subgrup dari G (Þ) HK juga subgrup dari G ditunjukkan HK = KH (HK Ì KH dan HK Ì KH)
·         Menurut teorema 1. ii . HK subgrup maka (HK)-1 = HK ………….( )
Ambil x Î HK = (HK)-1 maka x = t-1 untuk setiap t Î HK berarti t = hk untuk setiap t Î H, kÎ K. karena H dan K subgrup maka h-1 H, k-1 K, sehinga x = t-1 = (hk)-1= k-1h-1 KH Jadi x HK x KH atau HK KH.
·         Menurut teorema 1.ii, H dan K subgrup maka H-1= H dan K-1= K
Ambil sebarang y KH = K-1H-1 maka y = cd untuk suatu c K-1, d H-1 berarti c = q-1 untuk suatu q K dan d = r-1 untuk suatu r H, sehingga y = q-1r-1= (rq)-1 (HK)-1= HK menurut ( ) Jadi y KH x HK atau KH HK () HK = KH ditujukan HK sugrup dari G. Karena H dan K masing-masing sugru maka setip z HK, z = u untuk sutu u H, v K, seinga u, v G, z = u v G. jadi HK G.………………………………………………        (a)
Disamping itu e H dane K maka e = ee HK. Jadi HK ≠ Φ …  (b Daria) dan b diproleh HK kmpleks dari G
Ambil sembarang x, y HK x = h1k1,y = h2k2u/ suatu h1, h2 H, k1, k2 K
xy-1        = h1k1(h2k2)
= h1k1(k2-1h2-1)             sifat sederhna grup
= h1(k1k2-1)h2-1             sifat asosiatif
= (h1k*)h2-1)                 k* = k1k2-1 Î K
= (koho)h2-1                   h1k* Î HK = KH maka h1k* = koho, koÎ K, hoÎ H
= ko(ho h2-1)                  sifat asosiatif
= koh* Î KH = HK
jadi HK kompleks dari G dan "x, y Î HK maka xy-1 Î HK. Dengan kata lain HK subgrup dari G


  
BAB III
PENUTUP
A.    Kesimpulan
Dari penjabaran materi atas dapat di tarik kesimpulan sebagai berikut ;
1.      Suatu himpunan dikatakan grup jika memenuhi syarat – syarat di antaranya bersifat tetutup, bersifat asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers.
2.      Sifat – sifat sederhana dari grup yaitu sifat pengapusan atau karelasi atau pelenyapan baik yang berada di kanan maupun yang berada di sebelah kiri.
3.      Subgrup merupakan bagian dari grup.

B.     Saran
Dalam penulisan makalah ini penulis menghimbau dapan penulisan makalah alngkah baiknya memenuhi aturan dalam penulisan.


  
DAFTAR PUSTAKA

Sukirman (1986). Aljabar Abstar. Jakarta : Universitas Terbuka


Tidak ada komentar:

Posting Komentar