Kamis, 11 Oktober 2012

Pgsd F: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear


TUGAS MATEMATIKA
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR




    KELOMPOK 6, KELAS 1F
1.     Dedi Priyadi
2.     Juju
3.     Neneng Mutia
4.     Rina Octaviani
5.     Veryana Ricky Ningtyas




UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR




 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR


Persamaan linear satuvariabel adalah persamaan yang terdiri dari satu variable dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.
Persamaan linear kalimat terbuka yang memiliki hubungan samadengan dan variabelnya berpangkat satu

Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dikatakan benar atau salah.
Contoh:
Perhatikan persamaan 3n-7 = 20
Jika n diganti dengan 9 (n = 9), maka persaman tersebut berubah menjadi 3 x 9 =20 yang merupakan kalimat benar, dan n=9 disebut penyelesaian dari persamaan itu

Jika variable diganti dengan angka 7, maka hasilnya salah. Sebaliknya, jika variabel diganti dengan angka 8, maka hasilnya benar.
Persamaan Linear Satu Variabel

Telah dijelaskan bahwa persamaan linear satu variable adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari variabel tersebut adalah satu.

Kedua kalimat di atas disebut persamaan.
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan = (sama dengan Penyelesaian persamaan linear satu variabel
Contoh:
Tentukan persamaan dari .
                                  2x - 1 = 5
                              2x - 1 + 1 = 5 + 1
                                      2x = 6
                                    x  = 6 : 2         
x  = 3
Tentukan persamaan dari .
                                  2λ + 5 = 5λ - 10
                              2λ + 5 - 5 = 5λ - 10 - 5
                                      2λ = 5λ - 15
                                      15 = 5λ - 2λ
                                      15 = 3λ
  λ  = 15 : 3
  λ  = 5

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan garis lurus yang mempunyai 2 variabel atau peubah.
Bentuk umum persamaan dua variable (PLDV) dengan variable x dan y dapat dinyatakan sebagai berikut:

Contoh sistem persamaan linear dua variabel:
,
,
 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.
Bentuk Umum
dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.
 Bentuk standar
di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.





Bentuk titik potong gradient
 Sumbu-y
dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.
 Sumbu-x
dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.


Contoh:
 → persamaan dengan dua variabel x dan y.
 → persamaan dengan dua variabel α dan β.


Eliminasi
Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari
Contoh:
Carilah nilai Δ dan t dari persamaan berikut dengan cara eliminasi.
Untuk  mengeliminasi variabel Δ, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3.Kedua persamaan dikurangkan agar variabel t hilang.
4Δ + 3t = 34  | X1  →  4Δ + 3t  = 34
5Δ + t  = 37  | X3  → 15Δ + 3t = 111
                       ______________ -
                      -11Δ      = -77
                         Δ      = 7
Setelah kita mendapatkan nilai Δ yaitu 7, kita akan mencari nilai t.
Untuk mencari nilai t, persamaan nomor 1 dikalikan dengan 5 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 4.Kedua persamaan dikurangi agar variabel Δ hilang.
4Δ + 3t = 34  | X5  →  20Δ + 15t  = 170
5Δ + t  = 37  | X4  → 20Δ +  4t  = 148
                       ______________ -
11t  = 22
                         t        = 2
 Substitusi adalah menggantikan salah satu variable  kepersamaan
Jadi Δ = 7 dan t = 2.
Substitusi

Contoh:
Carilah nilai e dan f dari persamaan tersebut dengan metode substitusi.

Karena persamaan nomor 2 lebih sederhana dari pada persamaan nomor 1 maka persamaan nomor 2 diubah menjadi:

Masukkan persamaan berikut hingga menjadi:
4e + 3(11 - e) = 31
4e +  33 - 3e  = 31
e  = 31 - 33
e  = -2

Simulasi SPLDV (Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)
Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan.

Berikut ini simulasi SPLDV (Sistem Persamaan Linier DuaVariabel)

Simulasi SPLDV (Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)
Bentuk Umum :
ax + by = c
px + qy = r

Rumus Substitusi
Rumus Subtitusi adalah rumus yang digunakan dalam ilmu Matematika untuk menyelesaikan suatu persoalan dengan cara menggabungkan persamaan-persamaan yang telah diketahui.
Rumus Substitusi
Biasanya sering kali ditemukan dalam pelajaran matematika.Rumus Substitusi ini terdapat dalam materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.Contoh rumusnya adalah :
 2x - 3y = 2, 5x + 2y = 24
Penyelesaian : 2x - 3y = 2, y = (2x - 2) : 3

Rumus Eliminasi
Rumusinijugatermasukrumus yang terdapatpadaSistemPersamaan Linear DuaVariabel atau lebih singkatnya disebut dengan sebutan SPLDV.Rumus matematika ini lebih gampang cara penyelesaiannya dibandingkan dengan rumus substitusi yang berada di atas, karena caranya lebih singkat dibandingkan dengan rumus substitusi yang lebih panjang lagi.
Penyelesaian
2x - 3y = 2 . 2
4x - 10y= -8 -
4x - 6y = 4
4x - 10y= -8 -
4y = 4
 y= 1
Selain rumus substitusi dan rumus eliminasi dalam Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ini, ada juga rumus penyelesaian SPLDV yang lainnya, yaitu rumus grafika.Rumus grafika ini menggunakan himpunan penyelesaian dan memindahkan himpunan penyelesaian tersebutdalam sebuah grafik yang bernama diagram cartesius yang saat ini sering ditemukan dalam profit/bidang pekerjaan kantoran. Dalam memasukkan himpunan penyelesaian kepada diagram cartesius, angka pertama yang berada dalam himpunan penyelesaiannya harus dimasukkan dulu atau yang sering kita sebut absis (x) kemudian masukkan angka ordinat (y) ke diagram cartesius yang telah dibuat oleh penggaris.

Pertidaksamaan Linear SatuVariabel

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang memuat satu variabel dan pangkat terbesarnya adalah satu.
Pertidaksamaan linear satu variabel menggunakan tanda<, >, ≤, dan ≥.
Keterangan:
<kurangdari
>lebihdari
≤ kurangdari samadengan
≥ lebihdari samadengan
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan dari .
                                   5x + 2 > 8
                               5x + 2 - 2 > 8 - 2
                                       5x > 6
x> 6 : 5
                                        x >
Penerapan pertidaksamaan satu varibel dalam menyelesaikan masalah
1.      Memodelkan masalah tersebut ke dalam bentuk pertidaksamaan
2.      Menyelesaikan model yang diproleh dalam langkah sebelumnya
3.      Menfasirkan hasil yang diproleh kedalam permasalahan sebenarnya



A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR (PANGKAT  SATU)

Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari konstanta-konstanta.
Contoh :
2x - 3 > 5 ® 2x > 5 + 3
 2x > 8
2x  > 2


B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)

Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda akar.
Penyelesaian:
Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri, satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di ruas kanan atau sebaliknya).

Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah bilangan positif).

Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non negatif (³ 0)...(2)
          (pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)

Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2) di atas.
Contoh:
1. Ö(x-2) < 2
              ® kuadratkan
x - 2 < 4
x< 6
              ® syarat :
                  x - 2 ³ 0
x ³ 2
2 £ x < 6
2. Ö(-x + 3) - Ö(2x + 1) > 0

seimbangkan
Ö(-x+3) > Ö(2x+1)
® kuadratkan
    -x + 3 > 2x + 1
    3x < 2
x< 2/3

® syarat :
    -x + 3 ³ 0 ® x £ 3
dan
2x + 1 ³ 0 ® x ³ -1/2
-1/2 £ x < 2/3



C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a ¹ 0.
Penyelesaian:
Jadikan ruas kanan = 0
Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
Tetapkan nilai-nilai nolnya
Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan> 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
Bila ditanyakan< 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
contoh:

x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0
x < -2 atau x > 1




D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung variabel x.
Penyelesaian:
Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! Tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan ¹ 0
contoh :
-8 £ x <1
(2x + 7)/(x - 1) £ 1
(2x + 7)/(x - 1) - 1 £ 0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) £ 0 ® (x + 8)/(x - 1) £ 0
syarat :penyebut (x-1) ¹
 0x ¹ 1





E. PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI (Derajat> 3)

Penyelesaian:
Terlebih dahulu usahakan disederhanakan.Bila ada bentuk kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif( D< 0 ; a > 0) langsung dapat dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif( D< 0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.

Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol yang rangkap genap.
contoh:
(x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0
(x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0
x< 1 atau 1/2 < x < 3 atau 3 < x < 4                                
(3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai) positif, karena:
D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D < 0 dan a > 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi

(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) > 0

X < -6 atau X > 2

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Batasan : |x| = x    jika x > 0
                           0    jika x = 0
                          -x    jika x < 0          keterangan : |x| ³ 0     

masalah :menghilangkan tanda mutlak.

Penyelesaian:
 Untuk a > 0

½x½< a « -a < x < a
½x½ > a « x < -a atau x > a
½x½ = a « x = ±a
secara umum:
 menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas

|x| < -a TM
|x| > -a "x
 |a/b| < c « |a| <c|b| 








Tidak ada komentar:

Posting Komentar