TUGAS MATEMATIKA
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
KELOMPOK 6, KELAS 1F
1.
Dedi
Priyadi
2.
Juju
3.
Neneng
Mutia
4.
Rina
Octaviani
5.
Veryana
Ricky Ningtyas
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
Persamaan linear
satuvariabel adalah
persamaan yang terdiri dari satu variable dan pangkat terbesar dari variabel tersebut
adalah satu.
Persamaan linear kalimat
terbuka yang memiliki hubungan samadengan dan variabelnya berpangkat satu
|
Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah suatu kalimat yang belum dikatakan
benar atau salah.
Contoh:
Perhatikan persamaan 3n-7 = 20
Jika n diganti dengan 9 (n = 9), maka persaman
tersebut berubah menjadi 3 x 9 =20 yang merupakan kalimat benar, dan n=9
disebut penyelesaian dari persamaan itu
Jika variable diganti dengan angka 7, maka hasilnya salah.
Sebaliknya, jika variabel diganti dengan angka 8, maka hasilnya benar.
Persamaan Linear Satu Variabel
Telah dijelaskan bahwa persamaan linear satu
variable adalah persamaan yang terdiri dari satu variabel dan pangkat terbesar dari
variabel tersebut adalah satu.
Kedua kalimat di atas disebut persamaan.
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan
= (sama dengan Penyelesaian persamaan linear satu variabel
Contoh:
Tentukan persamaan dari .
2x - 1 = 5
2x - 1 + 1 = 5 +
1
2x = 6
x = 6 : 2
x = 3
Tentukan persamaan dari .
2λ + 5 = 5λ -
10
2λ + 5 - 5 = 5λ -
10 - 5
2λ = 5λ -
15
15 = 5λ -
2λ
15 = 3λ
λ = 15 : 3
λ = 5
Persamaan linear
dua variabel
adalah persamaan garis lurus yang mempunyai 2 variabel atau peubah.
Bentuk umum persamaan dua variable (PLDV) dengan
variable x dan y dapat dinyatakan sebagai berikut:
Contoh sistem persamaan linear dua variabel:
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear yang rumit, seperti
di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi
bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan
konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.
Bentuk
Umum
dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan
angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah
disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik
persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap
garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A
≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika
garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a.
Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y
adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan
dengan rumus -c/b.
Bentuk standar
di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak
menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat
diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a
dan b adalah nol.
Bentuk titik potong gradient
Sumbu-y
dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik
koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat
digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan
ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari
x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh
di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di
grafik.
Sumbu-x
dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c
adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan
dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan
nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa
membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak
mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.
Contoh:
→ persamaan dengan
dua variabel x dan y.
→ persamaan dengan
dua variabel α dan β.
Eliminasi
Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel,
metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat
menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu
variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama. Untuk lebih
jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari
Contoh:
Carilah nilai Δ dan t dari persamaan berikut dengan cara
eliminasi.
Untuk mengeliminasi
variabel Δ, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor 2
dikalikan dengan 3.Kedua persamaan dikurangkan agar variabel t hilang.
4Δ + 3t = 34
| X1 → 4Δ + 3t
= 34
5Δ + t =
37 | X3
→ 15Δ + 3t = 111
______________ -
-11Δ = -77
Δ = 7
Setelah kita mendapatkan nilai Δ yaitu 7, kita akan mencari
nilai t.
Untuk mencari nilai t, persamaan nomor 1 dikalikan dengan
5 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 4.Kedua persamaan dikurangi agar
variabel Δ hilang.
4Δ + 3t = 34
| X5 → 20Δ + 15t
= 170
5Δ + t =
37 | X4
→ 20Δ + 4t = 148
______________ -
11t = 22
t = 2
Substitusi adalah
menggantikan salah satu variable kepersamaan
Jadi Δ = 7 dan t = 2.
Substitusi
Contoh:
Carilah nilai e dan f dari persamaan tersebut dengan
metode substitusi.
Karena persamaan nomor 2 lebih sederhana dari pada persamaan
nomor 1 maka persamaan nomor 2 diubah menjadi:
Masukkan persamaan berikut hingga menjadi:
4e + 3(11 - e) = 31
4e + 33 -
3e = 31
e = 31 - 33
e = -2
Simulasi SPLDV (Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)
Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel
yang berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, maka dikatakan dua persamaan tersebut
membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan
linear dua variable tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua
persamaan.
Berikut ini simulasi SPLDV (Sistem Persamaan Linier
DuaVariabel)
Simulasi SPLDV (Sistem Persamaan Linier Dua Variabel)
Bentuk Umum :
ax + by = c
px + qy = r
Rumus Substitusi
Rumus Subtitusi adalah rumus yang digunakan dalam ilmu
Matematika untuk menyelesaikan suatu persoalan dengan cara menggabungkan persamaan-persamaan
yang telah diketahui.
Rumus Substitusi
Biasanya sering kali ditemukan dalam pelajaran matematika.Rumus
Substitusi ini terdapat dalam materi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.Contoh
rumusnya adalah :
2x - 3y = 2,
5x + 2y = 24
Penyelesaian : 2x - 3y = 2, y = (2x - 2) : 3
Rumus Eliminasi
Rumusinijugatermasukrumus yang terdapatpadaSistemPersamaan
Linear DuaVariabel atau lebih singkatnya disebut dengan sebutan SPLDV.Rumus matematika
ini lebih gampang cara penyelesaiannya dibandingkan dengan rumus substitusi
yang berada di atas, karena caranya lebih singkat dibandingkan dengan rumus substitusi
yang lebih panjang lagi.
Penyelesaian
2x - 3y = 2 . 2
4x - 10y= -8 -
4x - 6y = 4
4x - 10y= -8 -
4y = 4
y= 1
Selain rumus substitusi dan rumus eliminasi dalam Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel ini, ada juga rumus penyelesaian SPLDV yang
lainnya, yaitu rumus grafika.Rumus grafika ini menggunakan himpunan penyelesaian
dan memindahkan himpunan penyelesaian tersebutdalam sebuah grafik yang bernama
diagram cartesius yang saat ini sering ditemukan dalam profit/bidang pekerjaan kantoran.
Dalam memasukkan himpunan penyelesaian kepada diagram cartesius, angka pertama
yang berada dalam himpunan penyelesaiannya harus dimasukkan dulu atau yang
sering kita sebut absis (x) kemudian masukkan angka ordinat (y) ke diagram
cartesius yang telah dibuat oleh penggaris.
Pertidaksamaan
Linear SatuVariabel
Pertidaksamaan
linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang memuat satu variabel
dan pangkat terbesarnya adalah satu.
Pertidaksamaan linear satu variabel menggunakan tanda<,
>, ≤, dan ≥.
Keterangan:
<kurangdari
>lebihdari
≤ kurangdari samadengan
≥ lebihdari samadengan
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan dari .
5x + 2 >
8
5x + 2 - 2 >
8 - 2
5x > 6
x> 6 : 5
x >
Penerapan pertidaksamaan satu varibel dalam
menyelesaikan masalah
1.
Memodelkan masalah tersebut ke dalam
bentuk pertidaksamaan
2.
Menyelesaikan model yang diproleh dalam
langkah sebelumnya
3.
Menfasirkan hasil yang diproleh kedalam
permasalahan sebenarnya
A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR (PANGKAT SATU)
Adalah pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya
mengandung bentuk linier dalam x.
Penyelesaian:
Letakkan variabel x di ruas tersendiri terpisah dari
konstanta-konstanta.
Contoh :
2x - 3 > 5 ® 2x > 5 + 3
2x > 8
2x > 2
B. PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL (BENTUK AKAR)
Adalah pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam tanda
akar.
Penyelesaian:
Susunlah dahulu bila kedua ruas seimbang.
(Bila ada dua tanda akar letakkan satu di ruas kiri,
satu di ruas kanan; bila ada tiga tanda akar letakkan satu di ruas kiri, dua di
ruas kanan atau sebaliknya).
Kuadratkan kedua ruasnya.
(tanda tidak berubah karena yang dikuadratkan adalah
bilangan positif).
Selesaikan pertidaksamaannya ................. (1)
syarat: bilangan di bawah tanda akar harus non
negatif (³ 0)...(2)
(pembicaraan adalah mengenai bilangan riil)
Jawabannya adalah yang memenuhi syarat (1) dan (2)
di atas.
Contoh:
1. Ö(x-2) < 2
® kuadratkan
x - 2 < 4
x< 6
® syarat :
x - 2 ³ 0
x ³ 2
2 £ x < 6
2. Ö(-x + 3) - Ö(2x + 1) > 0
seimbangkan
Ö(-x+3) > Ö(2x+1)
® kuadratkan
-x + 3
> 2x + 1
3x < 2
x< 2/3
® syarat :
-x + 3 ³ 0
® x £ 3
dan
2x + 1 ³ 0 ® x ³ -1/2
-1/2 £ x < 2/3
C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT (PANGKAT DUA)
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang bentuk umumnya :
ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a ¹ 0.
Penyelesaian:
Jadikan ruas kanan = 0
Jadikan koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
Uraikan ruas kiri atas faktor-faktor linier.
Tetapkan nilai-nilai nolnya
Tetapkan tanda-tanda pada garis bilangan
Jawaban didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan
pada garis bilangan
(bila ditanyakan> 0, maka yang dimaksud adalah daerah
+,
Bila ditanyakan< 0, maka yang dimaksud adalah daerah
-).
contoh:
x² + x - 2 > 0
(x + 2) (x - 1) > 0
x < -2 atau x > 1
D. PERTIDAKSAMAAN PECAHAN
Yaitu pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya mengandung
variabel x.
Penyelesaian:
Pindahkan semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan
= 0
(ingat! Tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda
pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
Samakan penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
Selanjutnya, sama seperti penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat. Syarat: penyebut pecahan ¹ 0
contoh :
-8 £ x <1
(2x + 7)/(x - 1) £ 1
(2x + 7)/(x - 1) - 1 £ 0
(2x + 7)/(x - 1) - (x - 1)/(x - 1) £ 0 ® (x + 8)/(x
- 1) £ 0
syarat :penyebut (x-1) ¹
0x ¹ 1
E.
PERTIDAKSAMAAN DERAJAT TINGGI
(Derajat>
3)
Penyelesaian:
Terlebih dahulu usahakan disederhanakan.Bila ada bentuk
kuadrat yang definit (selalu) bernilai positif( D< 0 ; a > 0) langsung dapat
dihilangkan.Tanda pertidaksamaan tetap.
Bila ada bentuk kuadrat yang definit negatif( D<
0 ; a < 0) dapat dihilangkan asal tanda pertidaksamaannya berubah.
Selanjutnya sama seperti penyelesaian pertidaksamaan
kuadrat. Dengan catatan, tanda pada garis bilangan akan berubah jika melewati harga
nol yang tunggal (rangkap ganjil) dan tanda akan tetap jika melewati harga nol
yang rangkap genap.
contoh:
(x - 1/2) (x² - 3x - 4) (x² - 6x + 9) < 0
(x -1/2) (x - 4) (x - 1) (x - 3)² < 0
x< 1 atau 1/2 < x < 3 atau
3 < x < 4
(3x² + x + 2)/(x² + 4x - 12) > 0
Bentuk (3X² + X + 2) adalah definit (selalu bernilai)
positif, karena:
D = (1)² - 4(3)(2) = -23 dan a = 3
D < 0 dan a > 0
Sehingga (3x² + x + 2) dapat dihilangkan, soal menjadi
(+)/(X² + 4X - 12) > 0 ® (+)/(X + 6) (X - 2) >
0
X < -6 atau X > 2
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < 0 keterangan : |x| ³ 0
masalah :menghilangkan tanda mutlak.
Penyelesaian:
Untuk a > 0
½x½< a « -a < x < a
½x½ > a « x < -a atau x > a
½x½ = a « x = ±a
secara umum:
menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
|x| < -a TM
|x| > -a "x
|a/b| < c « |a| <c|b|
Batasan : |x| = x jika x > 0
0 jika x = 0
-x jika x < 0 keterangan : |x| ³ 0
masalah :menghilangkan tanda mutlak.
Penyelesaian:
Untuk a > 0
½x½< a « -a < x < a
½x½ > a « x < -a atau x > a
½x½ = a « x = ±a
secara umum:
menghilangkan tanda mutlak adalah dengan mengkuadratkan kedua ruas
|x| < -a TM
|x| > -a "x
|a/b| < c « |a| <c|b|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar