An NawaL: Matematika 3A1 : Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

MAKALAH

TRIGONOMETRI

“Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub”

Dosen Pembimbing :

Disusun Oleh :

1. Firda Ulfah

2. Icha Nadia N

3. Ida Wahidah

4. Rahayu Ningsih

Kelompok : 3

Kelas : 3 A1

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

TAHUN AKADEMIK 2011/2012

KATA PENGANTAR

Segala puji hanya milik Allah SWT. Shalawat dan salam selalu tercurahkan kepada Rasulullah SAW. Berkat limpahan dan rahmat-Nya, penyusun mampu menyelesaikan tugas makalah ini guna memenuhi tugas mata kuliah Trigonometri.

Dalam penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan yang kami hadapi. Namun menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat bantuan dan kerjasam rekan-rekan kelompok.

Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu tentang koordinat kartesius dan koordinat kutub guna untuk dipakai pada pengaplikasian kehidupan sehari- hari. Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas dan menjadi sumbangan pemikiran kepada pembaca khususnya para mahasiswa Universitas Muhammadiyah Tangerang. Kami sadar bahwa makalah ini masih banyak kekurangan dan jauh dari sempurna. Untuk itu, kepada dosen pembimbing penyusun meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah di masa yang akan datang dan mengharapkan kritik dan sarannya dari para pembaca.

Tangerang, Oktober 2012

Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.......................................................................................... ……………...... i

DAFTAR ISI ................................................................................................................................. ii

BAB I. Pendahuluan ...................................................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ......................................................................................................................... 1

BAB II Pembahasan ....................................................................................................................... 2

2.1 Sistem Koordinat Cartesius …………………………………………………………….……. 2

2.2 Sistem Koordinat Kutub (Polar) …………………………………………………….………….… 4

2.3 Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub ……………… 5

BAB III. Penutup ......................................................................................................................... 10

3.1 Kesimpulan ............................................................................................................................ 10

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Dalam kehidupan sehai-hari kita sering menjumpai gambar peta. Peta sangat memudahkan kita dalam mencari suatu tempat atau wilayah. Di peta juga terdapat garis lintang dan garis bujur. Dalam Ilmu Matematika itu disebut sistem koordinat.Pada makalah ini saya akan membahas lebih dalam tentang sitem koordinat.

BAB II

PEMBAHASAN

Sistem Koordinat

Sistem koordinat adalah suatu cara/metode untuk menentukan letak suatu titik. Ada beberapa macam system koordinat: Sistem Koordinat Cartesius, Sistem Koordinat Kutub, Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola. Pada bagian ini hanya akan dibicarakan Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub saja.

2.1 Sistem Koordinat Cartesius

Diperhatikan 2 garis lurus, satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertical). Selanjutnya, garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik disebelah kanan O dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif.

Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV (lihat Gambar 1.2.1).

Gambar 1.2.1

Letak sebarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan berurutan

. Titik

mempunyai arti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah

. Apabila

maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila

maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

· · · · · · · · · · · · · · ·

2.2 Sistem Koordinat Kutub (Polar)

Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan

, dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real

, dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan q adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub) (lihat Gambar 1.2.3).

Gambar 1.2.3

Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius, dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik

dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar

radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1.2.4 (a)). Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat

, dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1.2.4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat

pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.2.4 (c)). Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar

(a)

(b)

(c)

Gambar 1.2.4 Berbagai pernyataan koordinat kutub untuk suatu titik.

Secara umum, jika

menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

atau

dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat

dengan q sebarang bilangan.

2.3 Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat

dalam sistem koordinat Cartesius dan

dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:

Gambar 1.2.5

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1)

atau:

(1.2)

Contoh 1.2.1 Nyatakan ke dalam system koordinat Cartesius.

Penyelesaian: Dengan menggunakan persamaan (1.1):

Jadi,

Jadi, dalam system koordinat Cartesius

Jadi,

.█

Apabila

maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3)

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena

akan memberikan 2 nilai q yang berbeda,

. Untuk menentukan nilai q yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai q yang lain, maka