Matematika 3A2 : Sudut

MENCARI SUDUT SEMBARANG DAN SUDUT ISTIMEWA

DI SUSUN OLEH :
 

ü  NELA LUSITA RACHMAN                         11.84.202.04

ü  NILA SARI                                                    11.84.202.046

ü  NUR AMINAH DEWI                                  11.84.202.048

ü  RAHMAIDA NOVIANTANTRI                   11.84.202.0

ü  ANIATUL KAROMAH                                 11.84.202.180

UNIVERSITAS MUHAMMADYIAH TANGERANG

2012-2013

Jl. Printis Kemerdekaan I/33 Cikokol – Kota Tangerang

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT karena-Nya lah kami dapat menyelesaikan makalah ini dengan sebaik-baiknya dan penuh kemudahan. Tanpa-Nya kami tidak akan mampu untuk mengerjakan ini dengan baik .

Makalah yang kami buat ini tentang “ Menghitung Nilai Fungsi Trigonometri “ . Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam mengerjakan makalah ini dengan sebaik-baiknya.

Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi para pembaca,sehingga lebih mengetahui dan mendalami tentang Cara menghitung fungsi trigonometri.

Walaupun kami menyadari makalah ini jauh dari sempurna,maka dari kami mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca. Terima Kasih

 

Penulis

 BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG MASALAH

Trigonometri adalah bagian dari matematika yang mempelajari relasi antara sudutdan sisi-sisi pada suatu segitiga dan juga fungsi-fungsi dasar dari relasi-relasi tersebut . Trigonometri banyak digunakan dibidang sains dan teknik .Trigonometri dipakai pada bidang pengukuran , pemetaan , listrik , statistik , optik dan sebagainya .

Dalam penerapan yang sederhana , kita dapat menggunakan konsep-konsep trigonometri untuk mengukur tinggi tebing tanpa memanjatnya . Dengan trigonometri kita dapat juga mengukur lebar sungai tanpa menyebranginya .

Dalam pembahasan kali ini kami mulai dengan penjelasan tentang definisi fungsi trigonometri kemudian cara menghitung nilai fungsi trigonometri dengan sudut sembarang dan sudut istimewa .

A.    RUMUSAN MASALAH

1.      Apa yang dimaksud dengan definisi fungsi trigonometri ?

2.      Bagaimana cara menghitung nilai fungsi trigonometri dengan sudut sembarang dan sudut istimewa ?

B.     TUJUAN PENULISAN

Dapat mengetahui definisi fungsi trigonometri dan dapat menghitung nilai fungsi trigonometri dengan sudut sembarang dan sudut istimewa . Dan dapat mengerjakan aplikasi soal-soal fungsi trigonometri.

BAB II

PEMBAHASAAN

1.        Pengertiaan Fungsi Trigonometri

Trigonometri adalah bagian dari metematika yang mempelajari relasi antara sudut dan relasi antara sudut dan sisi-sisi pada segitiga dan juga fungsi-fungsi dasar dari relasi-relasi tersebut. Trigonometri banyak digunakan pada bidang sains dan teknik. Trigonometri dipakai padabidang pengukuran, pemetaan, listrik, statistik, optik, dan sebagainya.

2.        Menghitung Nilai Fungsi Trigonometri Dengan Sudut Sembarang

Cara menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri suatu sudut sembarang yaitu susdut-sudut yang bukan sudut khusus sebagai contoh misalnya cara menentukan nilai dari sin 19⁰, cos 32⁰, tan 41⁰ dan seterusnya. Nilai-nilai pendekataan bagi perbandingan trigonometri untk sudut-sudut sembarang dapat ditentukan dengan berbagai cara, beberapa diantaranya adalah :

ü  Dengan menggunakan tabel matematika atau tabel trigonometri

ü  Dengan menggunakan kalkulator.

Jika menggunakan kalkulator, maka pertama kali kita harus set kalkulator tersebut dalam “mode degree” atau “mode radian” ( mode rad ). Misalnya contoh nilai pendekatan dari sin 30,5⁰. Langkah-langkah selanjutnya sebagai berikut :

Ø 

sin

Tekan tombol bilangan 30,5

Ø  Kemudian tekan fungsi                       pada kalkulator

Ø  Kemudian akan mucul nilai pendekatan dari sin 30.5⁰ yaitu 0,5075

Selain itu kalkulator juga dapat digunakan untuk menentukan besarnya suatu sudut apabila perbandingan trigonometri sudut itu telah diketahui. Misalnya akan ditentukan besarnya sudut α⁰ jika diketahui cos α⁰ = 0,458. Dengan menggunakan kalkulator, besar sudut α⁰ dapat ditentukan sebagai berikut :

ü 

INV

COS

Tekan tombol bilangan 0.458

ü  Kemudian tekan tombo fungsi                             pada kalkulator

ü  Kemudian akan mucul bilangan 62,741877373 atau dapt dibulatkan 62,7

3.        Menghitung Nilai Fungsi Trigonometri Dengan Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah suatu sudut dimana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut tersebut antara lain: 0⁰, 30⁰, 45⁰, 60⁰, 90⁰. Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut khusus ini dapat ditentukan dengan menggunakan konsep lingkaran satuan.

                     

Y

 

P(x,y)

                                                                       

α0

y

x

x

0

P’

 

                                                           

Pada gambar diatas diperliahatkan sebuah lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari 1 satuan, lingkaran ini mempunyai persamaan x²+y²= 1 yang menyatakan hubungan antara variabel x dan variabel y.

Misalkan titik P(x,y) pada lingkaran dan terletak dikuadran pertama sehingga sudut  ⁰ merupakan sudut lancip. Titik P’ adalah proyeksi titik P terhadap sumbu X sehingga OP’= x dan PP’ = y.

Berdasarkan definisi perbandingan trigonometri, diperoleh hubungan:

sin α⁰ =  =  = y

cos α⁰ =  =  = x

tan α⁰ =  =  , dengan catatan x  0

            Dengan demikian dalam lingkaran satuan itu koordinat titik P(x,y) dapat dinyatakan sebagai p(cos α^o, sin α^o).

            Konsep penyajiaan koordinat titik P(x,y) pada lingkaran satuan menjadi p(cos α^o, sin α^o) ini selanjutnya dapat diaplikasikan untuk menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus seperti yang diperlihatkan pada perhitungan-perhitungan sebagai berikut :

1.      Nilai perbandigan trigonometri untuk sudut 0

P(1,0)

1

0

X

Y

 

Jika sudut αº = 0º, maka sudut OP berimpit dengan sumbu X positif atau titik P berada pada sumbu X positif seperti diperlihatkan pada gambar. Koordinat titik P adalah (1,0), sehingga (1,0) = (cos 0º, sin 0º)

Dengan demikian diperoleh :

Sin 0º = 0

Cos 0º = 1

Tan 0º =  =  = 0

2.      Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 30º

X

Q(x,-y)

P(x,y)

1

300

300

1

Y

Pʹ

y

 

Jika α⁰ = 30⁰, maka  OPPʹ = 60⁰. Akibatnya  merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi OP = OQ = PQ = 1. Karena  sama dan sebangun dengan  , maka PPʹ = QPʹ =  atau ordinat y =    siku-siku di Pʹ, dengan menggunakan Teorema Pyhtagoras diperoleh hubungan :

( OPʹ )² + ( PPʹ ) ² = ( OP )²

            ( OPʹ )² = ( OP )² - ( PPʹ ) ²

            ( OPʹ )² = 1² – ( )² =

            OPʹ =

            OPʹ menyatakan absis titik P atau x =

Untuk α = 30⁰ maka koordinat titik P adalah (  ,  ), sehingga (  ,  ) =           ( cos 30⁰ , sin 30⁰ ). Dengan demikian diperoleh :

            Sin 30⁰ = 

            Cos 30⁰ =

            Tan 30⁰ =  =  =  =

3.      Nilai perbandingan Trigonometri untuk sudut 45⁰

Y

 

 

450

y

0

P’

1

P(x,Y)

X

x

 

            Jika α ͦ  = 45⁰ maka  merupakan segitiga siku-siku di Pʹ dean sama kaki dengan OPʹ = PPʹ atau x = y. Degan menerapkan teorema pyhtagoras pada  diperoleh:

(OPʹ)² + (PPʹ) = (OP)²

            x²+y²   = 1

                 2x²  = 1

                   x²  =

                   x   =  =

karena x = y maka y =

untuk α ͦ = 45⁰ maka koordinat titik P adalah (  ,  ), sehingga (  ) = (cos 45⁰ , sin 45⁰). Dengan demikian diperoleh :

            sin 45⁰ =  

            cos 45⁰ =  dan

            tan 45 ⁰ =  =  = 1

4.      Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 60⁰

Pʹ

y

1

0

P(x,y)

600

X

Y

Q(1,0)

x

 

                                                                                                                        

Jika sudut α ͦ = 60⁰, maka OPQ merupakan segitiga sama sisi dengan OP = OQ = PQ = 1. Karena OPP’, maka OPʹ = QPʹ =  sehingga absis x = . Dengan menerapkan teorema pythagoras pada OPP’ dapat ditunjukan bahwa PP’ = , Sehingga ordinat y = . Untuk sudut α ͦ = 60^o koordinat titik P adalah (  ), diperoleh :

            Sin 60^o  =   

            Cos 60^o =   , dan

            Tan 60^o  =    =  =

5.      Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 90⁰

900

1

0

P(0,1)

X

Y

 

                                                                                                             

Jika sudut α ͦ = 90^o, maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu Y positif atau titik P berada pada sumbu Y positif. Koordinat titik P adalah ( 0 , 1 ), sehingga ( 0 , 1 ) = ( cos 90⁰ , sin 90^o).

Dengan demikian, diperoleh :

            Sin 90^o    = 1

            Cos 90^o  = 0, dan

Tan 90^o  =  =  ( tidak didefinisikan )

Nilai-nilai perbandingan trigonometri kotangen, sekan, kosekan untuk sudut-sudut khusus dapat di tentukan dengan menggunakan hasil-hasil yang telah dibahas di atas dan dengan menggunakan rumus-rumus kebalikan :

a.       Cot 30⁰  =  =  =  =

b.      Sec  45⁰  =  =  =  =

c.       Cosec 60⁰  =    =  =  =

d.      Sec 0⁰                 = = = 1  . . . . . . . . dan seterusnya .

Nilai-nilai perbandingan sinus , kosinus , tangent , kotangen , secan , dan cosecant untuk sudut-sudut khusus (sudut-sudut yang besarnya 0  , 30⁰ , 45⁰ , 60⁰ dan 90⁰) . Biasanya disajikan dalam bentuk rangkuman sebagaimana diperlihatkan pada tabel berikut ini .

Nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut khusus

	Besar sudut α0
	00	300	450	600	900
sin α0	0				1
cos α0	1				0
tan α0	0		1		-
cot α0	-		1		0
sec α0	1			2	-
cosec α0	-	2			1

Contoh soal :

Hitunglah :

a.       Sin 60⁰ + cos 45⁰

b.      Sin 60⁰ cos 30⁰ + cos 60⁰ sin 30⁰

c.      

Jawab :

a.       Sin 60⁰ + cos 45⁰ =  +  =  + )

b.      Sin 60⁰ cos 30⁰ + cos 60⁰ sin 30⁰ = ( ) ( ) + ( ) ( ) = +  = 1

c.       =  

=  

=

=  

= 1