Jumat, 02 November 2012

Matematika 5A1: Grup

STRUKTUR ALJABAR





                      KELOMPOK 3

Nama                       :
                                           Nurbaiti Siva ( 10.84.202.029 )
                                     Siti Mazroatus Sholihah ( 10.84.202.038 )
                                     Sri Lestari ( 10.84.202.042 )           
                                     Widya Wijayanti (10.84.202.047 )
     Kelas  / Smt             :    A-1 / 5
Prodi                        :    Pendidikan Matematika
Mata Kuliah            :    Struktur Aljabar
Dosen                       :    Yenni, M. pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG
Jl. Perintis Kemerdakaan 1/33 Cikokol, Tangerang
Tahun 2011 / 2012

A.      Definisi Grup
Diketahui G himpunan dan * operasi biner * pada G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi * jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut :
1.        G bukan merupakan himpunan kosong
2.        Untuk setiap a,b,c G berlaku (a b)c = a (b c)
3.        Terdapat  eϵG sehingga untuk setiap aϵG berlaku e a = a e = a
4.        Untuk setiap aϵG terdapat a'ϵG sehingga berlaku a a ' = a ' a = e .
Aksioma 2 disebut juga dengan sifat asosiatif. Elemen eϵG pada aksioma 3 disebut juga dengan elemen identitas. Elemen a 'ϵG pada aksioma 4 disebut juga dengan invers elemen a terhadap operasi .

Contoh :
Misalkan G = Ζ x Ζ= {(a,b) a,bϵ Ζ}. Didefinisikan operasi biner pada G, yaitu untuk setiap (a,b),(c, d G berlaku (a,b)(c, d ) = (a + c,b + d ) . Apakah G merupakan grup terhadap operasi ?
Penyelesaian :
Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1G . Akan ditunjukkan bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a,b),(c, d ),(e, f ) ϵ G, dan dengan menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:
((a,b) *(c,d))*(e,f) = (a+c, b+d)*(e,f)
                                         = (a+c+e, b+d+f)
                                         = (a,b) *(c+e, d+f)
                                         = (a,b) *((c,d)*(e,f)).
Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.
Jika dipilih elemen (0,0)G , maka untuk setiap (a,b)G akan berlaku:
(0,0)*(a,b) = (0+a,0+b)
                        = (a,b)
                        = (a+0,b+0)
                        = (a,b)*(0,0).
Jadi, (0,0)G merupakan elemen identitas pada G.
Untuk sebarang (a,b)G dipilih elemen (−a,−b)G , sehingga akan berlaku:
                 (a,b) *(-a,-b) = (a+(-a),b+(-b))
                                     = (a-a, b-b)
                                     = (0,0)
                                     = ((-a)+a, (-b) + b)
                                     = (-a,-b)* (a,b)
        Jadi, setiap elemen (a,b)G memiliki elemen invers terhadap operasi yaitu (−a,−b)G . Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap operasi .

Contoh 2 :
Himpunan Ζ = {0,1,2,3} adalah bukan kelompok Grup. Meskipun 1 dan 3 memiliki invers, unsur-unsur 0 dan 2 tidak. Sehingga {0,1,2,3} bukan grup, buktikan bahwa {0,1,2,3} bukan suatu grup !
Penyelesaian :
1.        Jelas bahwa {0,1,2,3}  bukan merupakan himpunan kosong, karena {0,1,2,3} ϵΖ. Syarat 1 terpenuhi.
2.        Asosiatif
Misal:
1 ( 2 . 3 ) = (1 . 2) 3
         6     =     6 à benar asosiatif
Syarat 1 terpenuhi.
3.        Identitas
{0, 1, 2, 3} memiliki identitas yaitu 1
Syarat 2 terpenuhi.
4.        Invers
{0,1,2,3}
·         Invers 0
Misal:0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
0 x 2 = 0            Maka 0 tidak memiliki invers.
0 x 3 = 0

·         Invers 1
1 x 1 = 1 maka invers 1 adalah 1
Invers 2
2 x 0 = 0
2 x 1 = 2
2 x 2 = 4                    Maka 2 tidak memiliki invers.
2 x 3 = 6

·         Invers 3
3 x 1 = 3   maka invers 3 adalah 1

Syarat 3 tidak terpenuhi.
Dengan demikian bahwa Himpunan Ζ = {0,1,2,3} adalah bukan kelompok Grup

B.       Sifat – sifat Grup
Dalam sebarang grup berlaku sifat sifat berikut :
1.        Hukum kanselasi kiri
2.        Hukum kanselasi kanan
3.        Anggota identitas itu tunggal  yaitu jika e dan e¢ elemen G  yang memenuhi hukum identitas maka e = e¢.
4.        Invers dari sebarang anggota G  akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b.
Keempat pokok diatas akan diuraikan satu persatu yaitu :
1.        Hukum kanselasi kiri
Diketahui (G,) merupakan grup dan a,b,c G . Jika ca = cb , maka berlaku a = b. Diketahui (G,) merupakan grup dan a,b G, maka hanya ada tepat satu xG yang memenuhi persamaan a x = b .
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa terdapat xG yang memenuhi a x = b. Akan ditunjukkan bahwa a'b merupakan elemen x yang dimaksud, dengan a' merupakan invers elemen a. Diperhatikan bahwa:
a*(a'*b) = (a*a’)*b      sifat asosiatif
              = e*b             definisi a’
  = b                 sifat e.
Jadi, terbukti bahwa hanya ada tepat satu xG yang memenuhi persamaan ax = b

2.        Hukum kanselasi kanan
Diketahui (G,) merupakan grup dan a,b,c G . Jika ac = bc , maka berlaku a=b.
Bukti.
Misalkan ac = bc . Menurut aksioma 3 Grup terdapat elemen c' yang merupakan invers elemen c. Diperhatikan bahwa:
            (a c)c '          =          (bc)c ' .
            a (c c ')         =          b(c c ') .                   Sifat asosiatif
            a e                  =          be .                            Identitas
            a                      =          b.
Jadi, terbukti bahwa  a,b,cG yang memenuhi persamaan a c=b*c .
Maka berlaku a = b
3.        Identitas tunggal
Diketahui (G,) merupakan grup dan eG merupakan elemen identitas, maka hanya ada tepat satu elemen identitas pada G.

Bukti:
Misalkan ada elemen e,e G , dengan e a = a e = a dan e a = a e = a untuk setiap a G. Misalkan dipilih a = e , akibatnya berlaku e e =e e = e.
Karena e juga merupakan elemen identitas, akibatnya e e = e , dan dengan kata lain e = e .
Jadi, elemen identitas pada grup G tunggal.
4.        Elemen invers
Diketahui (G,) merupakan grup dan aG. Jika a ' merupakan invers elemen a, maka hanya ada tepat satu elemen a ' pada G.
Bukti:
Misalkan elemen aG memiliki dua elemen invers, yaitu a ' dan a '' , sehingga a a ' = a ' a = e dan a a '' = a '' a = e . Akibatnya a a ' = a a '' = e .
Dan dengan teorema kanselasi kiri diperoleh a ' = a '' .
Jadi, terbukti bahwa elemen invers tunggal.Definisi order sebuah grup.
Bilangan yang termasuk dari sebuah grup (terhingga/tak terhingga) disebut order.Kita akan menggunakan ǀGǀ untuk melambangkan orde dari G. Jadi, grup Z dari bilangan bulat dengan operasi penjumlahan mempunyai order yang tak terhingga. Sedangkan grup U(10) ={1, 3, 7, 9} dengan operasi perkalian modulo 10 mempunyai 4 order.

C.      Definisi order sebuah elemen
Order dari sebuah elemen/unsure grup G merupakan bilangan bulat positif terkecil n seperti  = e (dalam notasi penjumlahan, ini akan menjadi ng = 0). Jika tidak ada bilangan bulat kita akan katakana g merupakan order yang tak terhingga. Order dari sebuah elemen g dilambangkan dengan .
Jadi, untuk menemukan order dari sebuah elemen grup g, yang kamu butuhkan hanya menghitung urutan dari hasil g1,g2 ,g3 , ..... Sampai kamu mendapatkan identitas untuk pertama kali. Eksponen dari hasil ini (atau koefisien jika operasinya penjumlahan)adalah order dari g. Jika identitas tidak pernah muncul dalam urutan, maka g mempunyai order yang tidak terbatas.



D.      Definisi Subgrup
Jika subset H kelompok G sendiri operasi Inder kelompok G, H kita katakan adalah subkelompok G.
Kami menggunakan notasi H ≤ G berarti H adalah subgrupG. Jika kita ingin menunjukkan bahwa H adalah subgrup dari G, tetapi tidak sama dengan g sendiri, kita menulis H <G. Subgrup seperti ini disebut sub-grup sejati. Subgrup {e} disebut subgrup trivial G. Subgrup yang tidak {e} adalah disebut subgrup trivial dari G.
Perhatikan bahwa Z_n dalam modulo n adalah subgrup dari Z dengan operasi penjumlahan, karena penjumlahan modulo n adalah bukan operasi dari Z.
Contoh:
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image269.gif dengan Z bilangan bulat, terhadap operasi penjumlahan (+) merupakan subgrub.
Bukti:
Ambil sebarang http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image270.gif dan http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image271.gif anggota 2Z, maka berlaku 
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image272.gif
Jadi
 http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image273.gif atau bersifat tertutup.
a.      Sifat asosiatif tidak perlu dibuktikan karena penjumlahan bilangan bulat selalu bersifat asosiatif.
b.     Elemen kesatuan 0 (nol) http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image274.gif
c.      Elemen invershttp://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image275.gif
Jadi dapat disimpulkan bilangan bulat genap 2Z merupakan subgrup sebab terhadap operasi yang sama dengan Z juga merupakan grup.


Beberapa sifat subgrup yang perlu diperhatikan.
Sifat
Misalkan G grup, http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image267.gif dan http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image268.gif
S subgrup jika dan hanya jika http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image276.gif
Bukti:
Þ (syarat perlu)
Diketahui S subgrup,
akan dibuktikan : http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image276.gif
ambil sebarang http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image277.gif,
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image278.gif, http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image279.gif karena S subgrup maka terdapat http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image280.gif, sehingga berlaku
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image281.gif
Ü (syarat cukup)
Diketahui http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image276.gif
Akan dibuktikan S subgrup yaitu sifat tertutup, terdapat elemen kesatuan, elemen invers, sifat asosiatif tidak perlu dibuktikan karena perkalian biasa bersifat asosiatif.
Akan dibuktikan terdapat elemen kesatuan:
Karena http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image268.gif pasti terdapat http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image282.gif dan http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image283.gif
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image284.gif
Jadi terbukti terdapat elemen kesatuan http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image285.gif.
Akan dibuktikan terdapat elemen invers:
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image286.gif
Jadi terdapat elemen invers http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image287.gif
Akan dibuktikan sifat tertutup
http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image288.gif
Jadi terbukti untuk setiap http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image289.gif dan http://www.ut.ac.id/html/suplemen/mata4321/gambar/Image290.gif maka berlaku .
Sehingga dapat disimpulkan S merupakan Subgrup.


DAFTAR PUSTAKA


















Tidak ada komentar:

Posting Komentar