Matematika 5A1 : Koset dan teorema Lagrange

KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE PADA STRUKTUR ALJABAR

Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Struktur Aljabar

Dosen  : Yenni, M.pd

( Kelompok 5 )

Nama :

v  Alis

v  Annisa Kholis

v  Dewi Putri Marwati

v  Nia Amelia

Kelas : 5AI ( FKIP MATEMATIKA )

Semester V

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

Jl. Perintis Kemerdekaan I/33 Cikokol

TANGERANG

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT  yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah mengenai “Koset dan Teorema Lagrange pada Struktur Aljabar”. Dalam meyelesaikan makalah penulis telah berusaha untuk mencapai hasil yang  maksimum, tetapi dengan keterbatasan wawasan pengetahuan, pengalaman dan kemampuan yang dimiliki, serta media yang terbatas, makalah ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat pada waktunya.

Terselesaikannya makalah ini tidak lepas dari bantuan dosen pembimbing  yaitu Ibu Yenni, M.Pd. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada dosen pembimbing mata kuliah Struktur Aljabar.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan dan sempurnanya makalah ini sehingga dapat bermanfaat bagi para pembaca.

                                       

                                                     

Tangerang,  November  2012

                                                                                                                                       Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

     Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melakukan perhitungan-perhitungan, seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perkalian matriks, penjumlahan matriks, dan sebagainya. Operasi-operasi tersebut dilakukan dalam suatu himpunan, seperti himpunan semua bilangan bulat, himpunan semua bilangan real, himpunan semua matriks 2x2 atas bilangan real, dan sebagainya.

     Struktur Aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan      suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang peranan penting dalam struktur aljabar karena dapat membentuk suatu konsep baru yang disebut modul.

     Gagasan utama dalam mempelajari Struktur Aljabar adalah salah satunya mengenai “Koset”. Namun, sekarang ini masih banyak yang belum memahami koset secara sepenuhnya termasuk dalam meninjau dari berbagai aspek, sehingga kaitan antara Defenisi, Teorema, dan penggunaannya dalam menyelesaikan masalah belum nampak jelas.

     Oleh karena itu, kami mencoba membahas secara lebih mendalam mengenai “Koset dan Teorema Lagrange” yang disertai dengan pembuktian dan contoh dari beberapa teorema agar dapat lebih mudah mengetahui konsep yang dikandung dalam teorema tersebut.

B. Rumusan Masalah

      Dengan memperhatikan latar belakang di atas, penulis dapat merumuskan masalah pada makalah ini dengan pertanyaan sebagai berikut :

1.  Bagaimanakah pemahaman mengenai koset?
2. Sejauhmanakah keterkaitan koset dengan teorema lagrange?

C. Tujuan

      Makalah ini di susun dengan tujuan :

1. Untuk mengetahui pemahaman mengenai koset
2. Untuk memahami keterkaitan koset dengan teoreme lagrange.

BAB II

PEMBAHASAN

A. KOSET

     Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Akan kita definisikan Koset kanan (kiri) dari H.

Definisi 1. Diberikan H subgrup dari G dan aÎG.

1. Himpunan aH = {ah   hÎH} disebut dengan koset kiri dari H yang ditentukan oleh

            a (yang memuat a).

2. Himpunan Ha = {ha   hÎH} disebut dengan koset kanan dari H yang ditentukan

           oleh a (yang memuat a).

Hal ini menunjukkan pada kita, bahwa koset kanan Ha paling sedikit mempunyai satu anggota yaitu a, demikian juga koset kiri aH. Akibatnya baik koset kanan maupun koset kiri tidak kosong. Pertanyaan selanjutnya, apakah aH = Ha? Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan
contoh berikut.

Contoh :

1. Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakan

            Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.

            Penyelesaian :

         (G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3

         Koset kiri :      0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}

                                   1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}

                                   2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}

                                   3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}

         Koset kanan:  H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}

                                  H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}

                                  H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}

                                  H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}

        

          Sehingga :

            0 + H = H + 0= {0,2}

            1 + H = H + 1= {1,3}

            2 + H = H + 2 = {0,2}

            3 + H = H + 3 = {1,3}

            Maka koset kiri = koset kanan

2. Misalkan G3 adalah suatu Grup dalam S3 terhadap perkalian dan

            H ={(1), (1 2 3), (1 3 2)} adalah Subgrupnya. Carilah koset kiri dan koset

            kanan dengan generator a = (1 2).

            Penyelesaian :

            Diketahui :

            H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}

                =

         

              a = (1 2)

                 =

Koset Kiri :

aH =  

     = 

     =   {(1 2), (2 3), (1 3)}

Koset Kanan :

Ha =  

      = 

       =   {(1 2), (2 3), (1 3)}

Jadi koset kiri = koset kanan

Berikut ini diberikan dua sifat dari koset.

Teorema 1. Diberikan H subgrup dari G dan aÎG.

1.  Jika G Abelian, maka aH = Ha .
2.  eH = He = H

Bukti:

1.  Diketahui G abelian , diambil sebarang aÎG, maka diperoleh bahwa

             aH = {ah   hÎH} = {ha     hÎH} = Ha .

2. Diketahui  e adalah elemen identitas dari G, akibatnya diperoleh bahwa

           eH = {eh     hÎH} = {h    hÎH} = H

           He = {he    hÎH} = {h    hÎH} = H

Dengan demikian teorema terbukti.

Teorema 2. Jika h anggota sebarang dari H, dan H merupakan subgroup dari grup G, maka Hh = H dan hH = H.

Bukti:

Karena H subgroup dari grup G, maka jelas H ≠ ø.

Ambil h Î H sebarang.

Akan ditunjukkan  Hh = H dan hH = H

Untuk itu ambil sebarang xΠHh.

Maka x dapat ditulis dalam bentuk:

x = h’h untuk suatu h’ Î H

diketahui H subgroup dan hΠH, h’ΠH.

akibatnya h’h Î H atau x = h’h Î H, ini menunjukkan

                         Hh ⊂ H                                               … (i)

Selanjutnya ambil sebarang y Î H

Pandang y = ye, dimana e unsur identitas di H

                         = y(h^-1h)             [h Î H     dan     h^-1h = e]

                         = (yh^-1)h             [assosiatif]

Karena y  Î H, h Î H, maka y Î H, h^-1 = H

Akibatnya yh^-1 = H. tetapi y = (yh^-1)h

Maka            y = Hh. Hal ini menunjukkan bahwa:

                         H ⊂ Ha                                              … (ii)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa Hh = H

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan hH = H.

Contoh

Perhatikan kembali Contoh 5.1, yaitu G = {1,-1,i,-i} dan (G,x) membentuk grup, H= {-1,1}, merupakan subgroup G. Selanjutnya, ambil -1,1 H maka

                         1 × H = {-1,1} = H        H × 1 = {-1,1} = H

                      -1 × H = {1,-1} = H          H ×-1= {1,-1} = H

Teorema 3. Diberikan H subgrup dari G dan a,bÎG, maka

1. aH = bH jika dan hanya jika aÎH .
2. Ha = Hb jika dan hanya jika a ÎH .

Bukti :

1. (⇒) Diketahui aH = bH, akan ditunjukkan bahwa aÎ H .

           ambil sebarang a, b Î G sedemikian sehingga aH = bH

           karena e Î H ( e unsur identitas ) maka  ea = Ha atau a ÎH

           dari hipotesis diketahui aH = bH. Akibatnya diperoleh

           aH = bH               a = bH        ( karena a ÎH dan Ha = Hb )

                              a = (bH)    [kedua ruas dikalikan dengan

                              a = (b ) H

                              a = ( b) H

                              a = e H    

                              a =  H      [karena eH = H]

          Diketahui H subgrup dari G maka a Î H.

           (Ü) Diketahui aÎ H, akan ditunjukkan bahwa aH = bH, yaitu

           Untuk itu diperhatikan :

           aÎ H                     aH = H        [ dari teorema ]

                                               baH   =  bH

                                                     eaH  =  bH

                                                       aH  =  bH

           dengan demikian disimpulkan, aH = bH jika dan hanya jika aÎ H.

2. (⇒) Diketahui Ha = Hb, akan ditunjukkan bahwa a ÎH.

ambil sebarang a, b Î G sedemikian sehingga Ha = Hb

karena e Î H ( e unsur identitas ) maka  ae = Ha atau a ÎH.

dari hipotesis diketahui Ha = Hb. Akibatnya diperoleh

          Ha = Hb               a = Hb        ( karena a ÎH dan Ha = Hb )

                              a = (Hb)    [kedua ruas dikalikan dengan ]

                              a = H (b )

                              a =  He    

                              a =  H      [karena eH = H]

          Diketahui H subgrup dari G maka a Î H.

(Ü) Diketahui aÎ H, akan ditunjukkan bahwa Ha = Hb, yaitu

Untuk itu diperhatikan :

aÎ H                     Ha = H        [ dari teorema ]

                                 Hab   =  Hb

                                         Hae  =  Hb

                                           Ha  =  Hb

dengan demikian disimpulkan,

Ha = Hb jika dan hanya jika aÎ H.

Teorema 3. Diberikan H subgrup dari G dan  a, b Î G, maka aH = bH atau aH ÇbH = Æ.

Bukti : Diberikan a,bÎG. Misalkan aH ÇbH ¹ Æ , akan ditunjukkan bahwa aH = bH .

             Diketahui aH ÇbH ¹ Æ, maka terdapat x Î aH Ç bH

                                                          sehingga  x Î aH dan  x Î bH.

            Akibatnya x = ah dan x = bk , untuk suatu h, k ÎH

            Sehingga a = k.

            Diketahui H subgrup dari G dan h, k ÎH, akibatnya aÎ H .

            Berdasarkan teorema 2, diperoleh bahwa aH = bH.

Setelah diberikan konsep mengenai koset dan indeks, berikut ini diberikan mengenai teorema Lagrange.

B. Teorema Lagrange

     Suatu pedoman yang sering digunakan untuk menentukan banyaknya subgrup yang berbeda dari suatu grup terhingga, yaitu banyaknya anggota dari subgrup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya. Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Lagrange.

Teorema 1. Diberikan grup hingga G dan H subgrup dari G, maka order dari H membagi habis order dari G. secara khusus  G = [G: H][H]

Bukti :

Misalkan G grup terhingga dan H subgroup dari G

Maka jelas H juga terhingga. Sebut   (H) = m dan (G) = n

Karena (H) = m, maka H mempunyai m anggota yang berbeda.

Tulis m anggota dari H tersebut, yaitu h₁, h₂, h₃, …, h_m

Oleh karena itu, untuk sebarang a anggota elemen  G, koset kanan Ha yaitu:

Ha = { h₁a, h₂a,  …, h_ma}

Jelas h_ia ≠ h_ja untuk i ≠ j.

(karena jika diandaikan  h_ia=h_ja, maka hokum pencoretan kanan memberikan h_i=h_j, yang kontradiksi dengan asumsi bahwa h_i ≠ h_j untuk  i ≠ j).

Jadi, Ha mempunyai m anggota yang berbeda.

Sehingga setiap koset dari H di G memuat m anggota yang berbeda.

Selanjutnya , misalkan G memuat  k  koset kanan yang berbeda itu.

Akibatnya k koset kanan akan mempunyai mk anggota yang berbeda.

Oleh karena itu, G mempunyai mk anggota, dengan kata lain:

                  (G) = mk

atau   n   = mk

Jadi m | n

ini berarti (H) membagi (G).

Karena n = mk, maka n/k  = m, akibatnya indeks subgroup dari grup terhingga, membagi orde grup tersebut.

Contoh: Diberikan grup  dan 2 subgrup  dan   maka

Akibat 1.1. Jika order dari G adalah suatu bilangan prima, maka G siklik.

Bukti : Misalkan G = p , untuk suatu bilangan prima p. Diketahui p ³ 2 , maka dapat diambil suatu   aÎG dengan a ¹ e, sehingga (a) ¹ 1.

Berdasarkan akibat 1.1., maka order dari a membagi habis order dari G yaitu p.

 Diketahui G = p dengan p adalah bilangan prima, artinya p hanya dapat dibagi oleh 1 dan p  sendiri.

Diketahui (a) ¹ 1, akibatnya (a) = p , yang berarti bahwa = G

Terbukti bahwa G merupakan grup siklik dengan elemen pembangunnya adalah a.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

ñ  Koset kanan Ha maupun koset kiri aH memiliki paling sedikit satu anggota sehingga baik dari koset kanan maupun koset kiri tidak kosong.

ñ  Jika H subgroup dari grup terhingga G, maka banyaknya koset kanan (kiri) yang berbeda dari H, sama dengan banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H.

ñ  Teorema lagrange adalah banyaknya anggota dari subgroup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya.

B. Saran

ñ  Hendaknya  pembaca tidak sekedar mampu mengetahui dan mengaplikasikan Teorema Koset dalam Struktur Aljabar tapi mereka harus mengetahui tentang bagaimana proses ditemukannya atau dalam artian sejarahnya

 DAFTAR PUSTAKA

ñ  WWW.GOOGLE.COM

ñ  http://www.linkpdf.com/ebookviewer.php?url=http:/elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/pengantar struktur diskrit/bab2-grup dan semigrup.pdf. (28 april 2011).