An NawaL: Matematika 5A1 : Homomorfisma

HOMOMORFISME

NAMA :

DESSY NURMALASARI (10.84 – 202. )

LARAS AMALIA (10.84 – 202.024)

RIADLUSSHOLIHAH (10.84 – 202. 034)

RIA RIZKIA (10.84 – 202. 143)

SEMESTER 5/ KELAS A1

FKIP/MATEMATIKA

TUGAS STRUKTUR ALJABAR

DOSEN : YENNI, M. Pd

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

Jl. Perintis Kemerdekaan 1/33 Cikokol - Tangerang

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI………………………………………………………………………..2

HOMOMORFISME………………………………………………………………...3

1. Pengertian Homomorfisme…………………………………………………..3

2. Definisi dan Teorema Homomorfism.……………………………………….3

3. Latihan……………………………………………………………………....15

DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………16

HOMOMORFISME

1. Pengertian Homomorfisme

Homomorfisme merupakan struktur peta yang menghubungkan dua struktur aljabar. Setiap homomorfisme pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup faktor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup faktor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisme baru yang disebut homomorfisma natural.

Dalam mempelajari sistem, perlu juga mempelajari tentang suatu fungsi yang mengawetkan operasi aljabar. Sebagai contoh, dalam aljabar linier dipelajari tentang alih ragam linier ( linier transformation ). Fungsi ini T : V ® W mengawetkan penjumlahan dan pergandaan skalar.

2. Definisi dan Teorema Homomorfisme

Definisi :

Diketahui pemetaan/fungsi f : A ® B. Fungsi f dikatakan surjektif jika dan hanya jika untuk setiap y Î B terdapat x Î A sehingga y = f(x).

Contoh :

Diketahui fungsi f : R ® R dengan f(x) = x. Fungsi f merupakan fungsi yang surjektif. Sedangkan fungsi f : R ® R dengan f(x) = x² bukan fungsi surjektif karena -2 Î R tetapi tidak ada x Î R sehingga f(x) = x² = -2.

Definisi :

Diketahui pemetaan/fungsi f : A ® B. Fungsi f dikatakan injektif jika dan hanya jika untuk setiap x, y Î A dengan f(x) = f(y) berlaku x = y.

Contoh :

Diketahui fungsi f : R ® R dengan f(x) = x³. Fungsi f merupakan fungsi yang injektif karena untuk setiap x, y Î R dengan f(x) = f(y) maka x³ = y³ sehingga berlaku x = y.

Sedangkan fungsi f : R ® R dengan f(x) = x² bukan fungsi injektif karena ada -2 , 2 Î R dan -2 ≠ 2 tetapi f(-2) = (-2)² = 4 = 2²= f(2).

Definisi :

Diketahui pemetaan/fungsi f : A ® B. Fungsi f dikatakan bijektif jika f injektif dan f surjektif.

Contoh :

1. Fungsi f : R ® R dengan f(x) = x merupakan fungsi bijektif.

2. Fungsi f : R ® R dengan f(x) = x² merupakan bukan fungsi bijektif karena f tidak injektif.

3. Fungsi f : R ® R dengan f(x) = 2 x + 3 merupakan fungsi bijektif.

4. Fungsi f : R ® R dengan f(x) = x³ merupakan fungsi bijektif.

5. Fungsi f : R ® R⁺ dengan f(x) = e^x merupakan fungsi bijektif.

Definisi :

Misalkan < G, * > dan < H, .> grup. Pemetaan f : G ® H dinamakan homomorfisma grup jika f mengawetkan operasi yaitu asalkan bahwa f(x * y) = f(x) . f(y) untuk semua x, y Î G.

Contoh :

Misalkan < G, . > suatu grup abelian dan n bilangan bulat tertentu. Akan ditunjukkan bahwa aturan f(x) = xⁿ mendefinisikan suatu homomorfisma

f : G ® G.

Karena f(xy) = (xy)ⁿ = xⁿ yⁿ = f(x) f(y) maka f mengawetkan operasi.

Khususnya, f : Z₁₀* ® Z₁₀* dengan f (x) = x². Hal itu berarti f(1) = 1, f(3) = 9, f(7) = 9, dan f(9) = 1.

Determinan sebenarnya merupakan homomorfisma dari M^2x2* ke R* karena determinan mempunyai sifat det(AB) = det(A) . det(B) yang berarti fungsi determinan mengawetkan operasi. Dalam hal ini determinan juga merupakan fungsi yang surjektif.

Suatu homomorfisma grup yang bijektif (surjektif dan injektif) dinamakan isomorfisma grup, sedangkan isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri dinamakan automorfisma.

Dalam teori grup automorfisma dapat digunakan untuk menghubungkan grup bagian dari suatu grup G dengan grup bagian yang lain dalam upaya menganalisis struktur dari grup G. Salah satu bentuk automorfisma yang penting adalah sebagai berikut: untuk setiap b dalam G terdapat suatu automorfisma f_byang membawa x ke konjugatnya yaitu b^-1xb. Peta dari sebarang grup bagian S dibawah automorfisma f_b adalah b^-1Sb = { b^-1 s b | s dalam S }.

Dalam hal ini merupakan grup bagian dari G yang isomorfis dengan S. Berbagai grup bagian b^-1Sb dinamakan konjugat dari S.

Manfaat utama dari homomorfisma f : G ® H yaitu dengan melihat sifat-sifat dari petanya (image) dapat disimpulkan sifat-sifat dari grup G.

Definisi :

Peta Im(f) atau f(G) dari homomorfisma grup f : G ® H didefinisikan sebagai

Im(f) = f(G) = { f(g) | g Î G }.

Peta dari homomorfisma f sama dengan H jika f surjektif atau f pada (onto) H.

Teorema:

Jika f : G ® H homomorfisma grup maka Im(f) grup bagian dari H.

Bukti :

1. Akan dibuktikan bahwa f(G) tertutup.

Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G). Karena f homomorfisma maka f(ab) = f(a) f(b). Tetapi a, b dalam G sehingga ab dalam G (sebab G grup).

Jadi f(a) f(b) = f(ab) dalam G dengan ab dalam G atau f(G)tertutup.

2. Akan dibuktikan bahwa e¢ dalam f(G)

Anggota e¢ adalah identitas dalam H untuk membedakan dengan e dalam G. Misalkan f(b) sebarang anggota dalam Im(f). Karena f(b) dalam Im(f) maka f(e) f(b) = f(eb) = f(b) = e¢ f(b). Dengan menggunakan hukum kanselasi kanan didapat f(e) = e¢.

3. Akan dibuktikan f(G) mengandung invers dari anggota f(G).

Misalkan f(x) dalam f(G). Anggota f(x^-1) merupakan invers dari f(x) karena f(x) f(x^-1) = f(xx^-1) = f(e) = e¢. Dengan cara yang sama, didapat

f(x^-1) f(x) = e¢ dan f(x^-1) invers (yang tunggal) dari f(x) dengan f(x^-1) dalam f(G).

Teorema :

Misalkan < G, . > grup dan < B,* > sistem aljabar dengan operasi *.

Maka fungsi f : G ® B mengawetkan operasi maka Im(f) merupakan grup terhadap operasi * yang termuat dalam sistem B.

Bukti:

Dengan sedikit perubahan pada pembuktian Teorema VII.1 maka dapat dibuktikan sifat ketertutupan, identitas dan hukum invers. Tinggal dibuktikan bahwa hukum assosiatif berlaku.

Misalkan f(a), f(b), f(c) dalam f(G). Pada satu sisi, ( f(a)*f(b) ) * f(c) = f(ab)*f(c) = f((ab)c) Sedangkan pada sisi lain, f(a) * (f(b)*f(c)) = f(a)*f(bc) = f(a(bc)) Karena G grup maka (ab) c = a (bc) sehingga kedua hasil di atas sama.

Contoh :

Dalam contoh ini diperlihatkan bagaimana menggunakan suatu fungsi dari grup Z ke Z_nuntuk membuktikan bahwa Z_n grup. Didefinisikan f : Z ® Z_n dengan f(x) = r dan r merupakan sisa pembagian x oleh n.

Definisi :

Misalkan f : G ® H homomorfisma grup. Inti dari f atau Ker(f) didefinisikan sebagai anggota G yang dipetakan oleh f ke anggota identitas dari H yaitu

Ker(f) = { x Î G | f(x) = e }.

Contoh :

Bila didefinisikan pemetaan f : Z₂₀* ® Z₂₀* dengan f(x) = x²maka dengan menggunakan metode trial and error akan diperoleh

Ker(f) = { 1, 9, 11,19 }.

Teorema :

Jika f : G ® H homomorfisma grup maka Ker(f) grup bagian dari G.

Bukti :

1. Akan dibuktikan bahwa e dalam Ker(ƒ).

Telah ditunjukkan bahwa f(e) = e¢. Akibatnya identitas e dalam G merupakan anggota Ker(f).

2. Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ) tertutup.

Misalkan x, y dalam Ker(f). Karena x, y dalam Ker(f) maka f(x) = e¢ dan f(y) = e¢ sehingga (xy) = f(x) f(y) = e¢ e¢= e¢. Oleh karena itu , xy dalam Ker(f).

3. Akan ditunjukkan bahwa Ker(ƒ)mengandung invers dari anggotanya.

Misalkan x dalam Ker(f). Karena x dalam Ker(f) maka f(x) = e¢ sehingga f(x) = e¢

f(x) f(x^-1) = e¢ f(x^-1)

f(xx^-1) = f(x^-1)

f(e)= f(x^-1)

e¢= f(x^-1)

Berarti f(x^-1) dalam Ker(f).

Teorema :

Misalkan f : G ® H homografisma grup dengan peta f(g). Sifat-sifat berikut ini berlaku :

a. Jika G berhingga maka orde dari f(G) membagi orde G.

b. Jika G siklik maka f(G) siklik.

c. Jika a G mempunyai orde berhingga maka order dari membagi order a.

d. Jika G abelian maka f(G) abelian.

Misalkan G = (a) = { a^k | k Î Z }. Akibatnya f(G) = { f(a^k) | k Î Z }.

Tetapi karena f(a^k) = ( f(a) )^k ( dengan induksi ) maka f(G) = { ( f(a) )^k | k Î Z }. Berarti f(G) dibangun oleh f(a) atau f(G) siklik. Order dari f(a) sama dengan order dari grup bagian siklik ( f(a) ). Tetapi pada bagian (2) dalam bukti ini terlihat bahwa f membawa (a) pada ( f(a) ). Pada bagian (1) dalam bukti ini juga menjelaskan bahwa order dari ( f(a) ) membagi orde (a). Dengan kata lain, orde dari ( f(a) ) membagi orde a. Ambil sebarang f(a), f(b) dalam f(G) dengan G abelian.

Akibatnya f(a) f(b) = f(ab) = f(ba) = f(a) f(b).

Berarti f(G) abelian.

Contoh :

Fungsi f : dengan f(x) = 8x merupakan homomorfisma 2 ke 1.

Karena f(0) = 0 dan f(5) = 0 maka

K=Ker(f) = { 0, 5 }.

Koset dari K dibawa ke anggota dari peta f yaitu 10 anggota dibawa dalam 2 ke 1 cara ke 5 anggota peta f.

{ 0 , 5 } ® 0

{ 1 , 6 } ® 8

{ 2 , 7 } ® 6

{ 3 , 8 } ® 4

{ 4 , 9 } ® 2

Teorema :

Misalkan f : G ® H homomorfisma grup dengan inti Ker(f) dan peta f(G).

Sifat-sifat berikut ini berlaku :

a. Fungsi f injektif jika dan hanya jika Ker(f)={ 0 }

b. Jika f injektif maka G isomorfis dengan f(G).

Contoh :

Didefinisikan pemetaan f : Z ® Z dengan aturan f(x) = 3x. Karena f(x+y) = 3(x+y) = 3x+3y = f(x) + f(y) maka f homomorfisma. Penyelesaian persamaan 3x = 0 adalah x = 0 sehingga Ker(f) = { 0 } atau f injektif.

Dengan menggunakan teorema maka Z isomorfis dengan Im(f) = { 3x | x dalam Z } = (3) yang merupakan grup bagian sejati dari Z.

Soal :

Misalkan diketahui R himpunan bilangan real dan R* = R – {0}.

Didefinisikan f : R* ® R* dengan f(x) = x² Buktikan f homomorfisma tetapi f tidak injektif.

Jawab :

Berdasarkan Contoh VII.4, dengan mengingat R* grup terhadap operasi perkalian maka f homomorfisma tetapi

Ker(f) = { x Î R* | f(x) = x² = 1 }

= { 1, -1 } ≠ { 1 } sehingga f tidak injektif.

Kernel Dari Homomorfisma

Definisi: misalkan f suatu homomorfisma dari grup G ke dalam f (Kf) adalah himpunan semua x Є G yang dipetakan olek f ke e’ dimana e’ meupakan unsur identitas dalam G’ atau Kf = { x Є G ç f(x) Є e’ }.

Contoh:

(Z,+) yaitu grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan.

Pemetaan f : Z → Z didefinisikan f(x)= mx untuk setiap x elemen G dan m suatu bilangan bulat, maka f adalah suatu homomorfisma dan kernel dari (Z,+) tersebut adalah {0}.

Teorema:

Misalkan f homomorfisma dari grup G ke G’ dengan kernel K, maka K adalah subgrup normal dari G.

Bukti:

Pertama akan ditunjukkan bahwa K subgrup dari G.

misakan x,y Є K maka f(x)=e’ dan f(y)=e’

sehingga f(xy)= f(x) f(y)= e’ e’= e’ dimana xy Є K (sifat tertutup).

Selanjutnya

jadi

K (sifat invers).

Untuk menunjukkan sifat normal, ambil g Є G dan k Є K maka:

diperoleh

sehingga K subgrup normal dari G.

Homomorfisme Natural

Setiap homomorfisma pasti dapat ditentukan kanelnya, dan kanel pasti subgrup normal, sehingga selalu dapat dibentuk grup factor, selanjutnya akan dibentuk pengkaitan baru dari domain homomorfisma ke grup factor yang dibentuknya, sehingga terbentuklah homomorfisma baru yang disebut homomorfisma natural

Theorema :

Mislkan G suatu grup dan N adalah subgroup normal di G, di definisikan suatu pemetaan f dari G ke grup factor G/N.

f : G → G/N dimana

, untuk setiap x є G. maka f adalah homomorfisma dari G yang bersifat pada.

Bukti :

Misal x,y є G sebarang

Maka

Jadi, f homomorfisma

Tunjukkan pada / surjektif

Ambil sebarang y є G/N

Maka

untuk suatu y є G

sdemikian hinga Jadi, homomorfisma f pada

Teorema Fundamental Homomorfisma

Jika f suatu homorfisma dari grup G ke dalam grup G’ dengan kernel K,maka terdapat suatu isomorfisma dari G/K ke dalam G’.

Bukti :

Misalkan f fungsi dari G pada G’ dengan pengaitan f : G → G’ untuk setiap x Є G.,dan g fungsi G ke dalam G/K dengan pengaitan g : x → Kx untuk setiap x Є G dan kernel dari g adalah K.

Sekarang bangun fungsi h dari G/K ke dalam G’ dengan pengitan h : Kx → f(x) untuk setiap x Є G.

Perhatikan diagram berikut

Pengaitan f.g dan h digambarkan seperti gambar berikut

Akan ditunjukkan bahwa h adalah suatu homomorfisma dan satu-satu (isomorfisma) dari G/K ke dalam G/K.

Pertma-tama kita akan menunjukkan bahwa h merupakan pemetaan,dalam arti kita akan menunjukkan bahwa pengaitan untuk h : Kx → f(x) terdefinisi dengan baik (well defined).

3. Latihan

1. Tentukan fungsi ini homomorfisma atau bukan.

ú f : Z ® R* dengan f(k) = 2 .