Matematika 5B1 : Relasi Ekivalen dan Operasi Biner

RELASI EKIVALEN & OPERASI BINER

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah :

Struktur Aljabar

Dosen : Yenni, M. Pd.

Disusun Oleh :

1. EKA WIDYANINGSIH
2. IRMAWATI
3. SESAR ASTRI OKTARIA
4. SYAIFUL ROHMAN
5. YUS AISYAH

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

JL. PERINTIS KEMERDEKAAN I/33 CIKOKOL – TANGERANG

2012

KATA PENGANTAR

        Puji syukur kita haturkan kepada Allah SWT , Yang Esa yang menciptakan alam semesta. Sholawat dan salam selalu dilimpahkan kepada panutan kita Nabi Muhammad Saw beserta keluarga dan sahabatnya.

        Alhamdulillah, penyusunan makalah ini sebagai tugas yang diberikan dosen mata kuliah Struktur Aljabar pada semester lima tahun akademik 2012/2013 telah selesai pada waktunya yang sudah  ditetapkan. Ucapan terimaksih kepada yth:

1.      Yenni, M. Pd.  sebagai dosen mata kuliah Struktur Aljabar  pada prodi pendidikan matematika Universitas Muhammadiyah yang kami hormati.

2.      Teman-teman FKIP Prodi Matematika B1 Universitas Muhammadiyah Tangerang. Atas segala bantuanya baik moril dan spiritual sehingga dapat terselesaikan makalah ini.

Apabila ada saran dan segenap kritikan bagi kami demi lebih baiknya makalah ini. Kami ucapkan terimaksih. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya menambah wawasan bagi kita.

                                                                             Tangerang, 24 September 2012

                                                                                          Penyusun

                                                                                          Kelompok 1

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ………………………………….....................         2

DAFTAR ISI ………………………………………………………….        3

A. PENDAHULUAN .................................................................................       4

Latar belakang .....................................................................................       4

Perumusan Masalah .............................................................................       4

Tujuan...................................................................................................       4

B. PEMBAHASAN ....................................................................................       5

 Relasi Ekivalen ...................................................................................       5

Operasi Biner .......................................................................................       8

C. PENUTUP   ............................................................................................       10

Kesimpulan ..........................................................................................       10

Saran         ............................................................................................       10

D. DAFTAR PUSTAKA............................................................................       11

A.       PENDAHULUAN

Latar Belakang

Latar belakang kami menyusun makalah ini bertujuan untuk memenuhi tugas yang telah diberikan oleh dosen kami yaitu Yenni, M. Pd.. Yang mewajibkan mahasiswanya untuk membuat sebuah makalah tentang materi-materi yang diberikan oleh beliau.

Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian atau juga perkuliahan, produsen-distributor, distributor-konsumen, dll.

Ada banyak relasi yang mungkin terbentuk antar dua himpunan yang sama, contoh: antara mahasiswa dan matakuliah, dapat dibentuk relasi pengambilan matakuliah, bisa juga dibentuk relasi nilai matakuliah, serta dapat juga dibentuk relasi biaya matakuliah. Relasi juga bisa berarti keterhubungan atau keterkaitan antar dua objek atau lebih.

Dalam makalah ini akan dibicarakan definisi  yang menjadi titik penting dari makalah ini adalah relasi ekivalen dan operasi biner.

Rumusan Masalah

Dari latar belakang diatas, kami merumuskan masalah yaitu:

Apa yang dengan relasi ekivalen dan operasi biner?

Bagaimana operasi cara pengoperasian relasi ekivalen dan operasi biner?

Tujuan Penulisan

Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk mengtahui pengertian dari relasi ekivalen dan operasi biner serta pengoperasian dalam contoh-contoh.

B.     PEMBAHASAN

Relasi Ekivalen

1. Pengertian Relasi Ekivalen

Definisi Relasi Ekivalen

Relasi ekivalen adalah relasi yang memenuhi sifat: refleksif, simetri, dan transitif.

Contoh :

R={(a, b)| a=b atau a=-b, a, b∈Z}

Pada relasi ini, jelas dipenuhi a=a, ∀a∈Z, berarti (a, a) ∈ R atau bersifat refleksif.

Untuk sifat simetri, terdapat dua kemungkinan:

-    Jika a=b, berarti (a, b)∈R, ∀a, b∈Z maka b=a, berarti (b, a)∈R

-    Jika a=-b, berarti (a, b)∈R, ∀a, b∈Z maka b=-a, berarti (b,a)∈R,

Sehingga R bersifat simetri.

Untuk sifat transitif, mempunyai empat kemungkinan:

-    Jika a=b, dan b=c, maka a=c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z

-    Jika a=b, dan b=-c, maka a=-c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z

-    Jika a=-b, dan b=c, maka a=-c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z

-    Jika a=-b, dan b=-c, maka a=c, berarti (a, c)∈R, ∀a,b,c∈Z

Sehingga R bersifat transitif.

Jadi, R relasi ekivalen.

Contoh

R= {(a, b)| a-b∈ Z, a, b∈ℜ}

Jelas kita dapatkan a-a =0∈Z, berarti (a, a)∈R, berarti R bersifat refleksif.

Jika a-b∈Z, maka b-a = -(a-b)∈Z, berarti (b, a) ∈ R, berarti R bersifat simetri.

Jika a-b∈Z dan b-c ∈Z, maka a-c=(a-b) + (b-c), berarti a-c ∈ R,

berarti R bersifat transitif.

Jadi, R relasiekivalen.

Kelas Ekivalen dan Partisi

Definisi :

Jika R relasi ekivalen atas A, dapat didefinisikan kelas ekivalen dari a∈A adalah:

[a]R={x∈A| (a,x)∈R}

Dua elemen yang direlasikan oleh relasi ekivalen disebut ekivalen. Hal ini dikarenakan relasi ekivalen bersifat simetri, yang berarti bolak-balik. Dari sifat refleksif didapat, suatu elemen akan ekivalen dengan dirinya sendiri. Sedangkan dari sifat transitif, jika (a, b) ∈ R dan (b,c) ∈ R, maka didapat a dan c ekivalen juga.

Jika b∈[a]R , b disebut representative dari class ekivalen ini.

Contoh :

A={-2, -1, 0, 1}

R={(a,b)|a=b atau a=-b, dan a, b∈A }

Tentukan semua kelas ekivalen yang terbentuk.

Jawab:

R={(-2,-2), (-1,-1), (-1,1), (0,0), (1,1), (1,-1)} [-1]R= {-1, 1}

[1]R={-1, 1}

Akibatnya [1]=[-1], berarti 1 dan -1 ekivalen.

[0]R={0}

[-2]R={-2}

Contoh :

A={0, 1, 2, 6, 9}

R={(a, b)| 2 habis membagi a – b, dan a, b ∈ A}

Tentukan semua kelas ekivalen yang terbentuk.

Jawab:

R={(0,0), (0,2), (0,6), (1,1), (1, 9), (2, 0), (2, 2), (2, 6), (6,0), (6,2), (6,6), (9,1), (9,9)}

[0]=[2]=[6]={0, 2, 6} [1]=[9]={1, 9}

Class ekivalen membentuk partisi dari himpunan A.

Partisi dari himpunan A adalah sub-sub himpunan A yang mempunyai sifat:

jika A1, A2, ..., An ⊆ A, maka dipenuhi dua hal sekaligus:

i.                    A1∪A2∪...∪An = A

ii.                  Ai∩Aj = Ø, jika i≠j, dan i, j= 1, 2, ..., n

Pada contoh di atas memenuhi sifat:

1) [1]∪[-2]∪[0]= A

2) [1]∩[-2]=Ø, [1]∩[0]=Ø, dan [0]∩[-2]=Ø

Jadi, partisi A terhadap relasi R adalah: [1], [-2], dan [0]

Contoh :

A = {-2, -1, 3, 4, 5, 8}

R = {(a, b)|2 habis membagi (a-b), a, b∈A}

Partisi dari A terhadap relasi R adalah:

[-2]={-2, 4, 8}

[-1]= {-1, 3, 5}

Contoh :

R= {(a, b)| a-b ∈Z, a, b ∈ R }

Ada strongly connected component (scc), yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi:

Untuk relasi transitif refleksif R atas A, strongly connected component, scc, dari a ∈ A adalah: scc(a) = {x| x ∈ A, (a, x) ∈ R ∧ (x, a) ∈R}

Contoh :

A = {-2, -1, 3, 4, 5, 8}

R = {(a, b)|2 habis membagi (a-b), a, b∈A}

Scc(-2)={-2, 4, 8}

Scc(-1)={-1, 3, 5}

Proposisi:

Himpunan dari semua scc dari relasi transitif, refleksif atas A adalah partisi dari A.

Operasi Biner

Definisi : f: A x A à A

1.      Domain (f) = A x A ,

·         f menentukan sebuah elemen f(a,b) dari A ke pasangan (a,b) terurut  dari elemen-elemen A.

·         Operasi biner harus didefinisikan untuk masing-masing pasangan terurut dari elemen A.

2.      Operasi biner mirip fungsi , hanya satu elemen A yang disebutkan pada masing-masing pasangan terurut (a,b)

3.      Operasi biner ditunjukkan dengan symbol *.  Contoh bila a dan b elemen di dalam A maka a*b € A à A closed dengan operasi *.

Tabel

Bila A={a₁ , a₂ , … , a_n } mrp himpunan terbatas, operasi biner dari A dapat

disajikan dalam table dengan i, j menunjukkan elemen a_i * a_j .

*	a1     a2     . . .  aj   . . .  an
a1 a2 . ai . an	ai * aj

Sifat Operasi Biner

·         Komutatif à a * b = b * a

·         Operasi biner yang digambarkan dengan table dikatakan komutatif jika dan hanya jika isi table simetris thd diagonal utama.

·         Asosiatif à a*(b*c) = (a*b)*c

PENUTUP

KESIMPULAN

Definisi :

Sebuah relasi pada sebuah himpunan A disebut relasi ekivalen jika dan hanya jika relasi tersebut bersifat refleksif, simetris dan transitif.Dua elemen yang dihubungkan dengan relasi ekivalen disebut ekivalen.

Operasi “” disebut sebagai operasi biner (bersifat tertutup) pada . Jika setiap berlaku .

dengan operasi biner “” ditulis disebut grup jika :

• Bersifat asosiatif, artinya $ latex \forall a,b,c \in \mathbb{G}$ berlaku
• Eksistensi identitas, artinya sehingga untuk setiap
• Eksistensi invers, artinya sedemikian hingga berlaku

dengan operasi biner “” disebut komutatif jika setiap anggota berlaku .

SARAN

Sekian makalah yang kami buat, semoga bermanfaat bagi kita khususnya pembaca makalah ini. Manusia tidak ada yang sempurna, jadi jika makalah ini masih jauh dari kata sempurna kami mohon maaf, karena kami masih dalam proses belajar. Saran yang membangun sangat kami butuhkan dalam proses pembelajaran kami ini.

Semoga pembaca bisa mengetahui secara garis besar tentang relasi ekivalen dan operasi biner.

Demikianlah uraian makalah kami, tidak lupa kritik dan saran yang membangun akan sangat membantu kami dalam menyempurnakan pengerjaan tugas-tugas kita khususnya pembuatan makalah ini. Kurang lebihnya kami mohon maaf kami ucapkan terimakasi.

DAFTAR PUSTAKA

• http://www.google.co.id/operasi biner.
• http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)