5 Mitos Sesat Tentang Matematika

Sumber : Soul-Mate-Matika

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Banyak mitos menyesatkan mengenai matematika. Mitos-mitos salah ini memberi andil besar dalam membuat sebagian masyarakat merasa alergi bahkan tidak menyukai matematika. Akibatnya, mayoritas siswa kita mendapat nilai buruk untuk bidang studi ini, bukan lantaran tidak mampu, melainkan karena sejak awal sudah merasa alergi dan takut sehingga tidak pernah atau malas untuk mempelajari matematika. Meski banyak, namun ada lima mitos sesat yang sudah mengakar dan menciptakan persepsi negatif terhadap matematika.

1). MITOS PERTAMA, MATEMATIKA ADALAH ILMU YANG SANGAT SUKAR SEHINGGA HANYA SEDIKIT ORANG YANG ATAU SISWA DENGAN IQ MINIMAL TERTENTU YANG MAMPU MEMAHAMINYA.

Ini jelas menyesatkan. Meski bukan ilmu yang termudah, matematika sebenarnya merupakan ilmu yang relatif mudah jika dibandingkan dengan ilmu lainnya.
Sebagai contoh, amati perbandingan soal untuk siswa kelas 6 sebuah SD swasta berikut ini.
Soal pertama, Sebutkan 3 tarian khas daerah Kalimantan Tengah dan Soal kedua, Sebuah lingkaran dibagi menjadi tiga buah juring dengan perbandingan masing-masing sudut pusatnya adalah 2 : 3 : 4, maka hitung besar masing-masing sudut pusat juring-juring tersebut. Ternyata, persentase siswa yang menjawab benar soal kedua lebih besar dibandingkan persentase siswa yang menjawab benar soal pertama. Tanpa ingin mengundang perdebatan, contoh di atas menunjukkan, bahwa matematika bukanlah ilmu yang sangat sukar. Soal matematika terasa sulit bagi siswa-siswa kita karena mereka tidak memahami konsep bilangan dan konsep ukuran secara benar semasa di sekolah dasar. Jika konsep bilangan dan ukuran dikuasai, maka pekerjaan menganalisis dan menghitung menjadi hal yang mudah dan menyenangkan.

2). MITOS KEDUA, MATEMATIKA ADALAH ILMU HAFALAN DARI SEKIAN BANYAK RUMUS. 

Mitos ini membuat siswa malas mempelajari matematika dan akhirnya tidak mengerti apa-apa tentang matematika. Padahal, sejatinya matematika bukanlah ilmu menghafal rumus, karena tanpa memahami konsep, rumus yang sudah dihafal tidak akan bermanfaat. Sebagai contoh, ada soal berikut : Benny merakit sebuah mesin 6 jam lebih lama daripada Ahmad. Jika bersama-sama mereka dapat merakit sebuah mesin dalam waktu 4 jam, berapa lama waktu yang diperlukan oleh Ahmad untuk merakit sebuah mesin sendirian?. Seorang yang hafal rumus persamaan kuadrat tidak akan mampu menjawab soal tersebut apabila tidak mampu memodelkan soal tersebut ke dalam bentuk persamaan kuadrat. Sesungguhnya, hanya sedikit rumus matematika yang perlu (tapi tidak harus) dihapal, sedangkan sebagian besar rumus lain tidak perlu dihafal, melainkan cukup dimengerti konsepnya. Salah satu contoh, jika siswa mengerti konsep anatomi bentuk irisan kerucut, maka lebih dari 90 persen rumus-rumus irisan kerucut tidak perlu dihafal.

3). MITOS KETIGA, MATEMATIKA SELALU BERHUBUNGAN DENGAN KECEPATAN MENGHITUNG. 

Memang, berhitung adalah bagian tak terpisahkan dari matematika, terutama pada tingkat SD. Tetapi, kemampuan menghitung secara cepat bukanlah hal terpenting dalam matematika. Yang terpenting adalah pemahaman konsep. Melalui pemahaman konsep, kita akan mampu melakukan analisis (penalaran) terhadap permasalahan (soal) untuk kemudian mentransformasikan ke dalam model dan bentuk persamaan matematika. Jika permasalahan (soal) sudah tersaji dalam bentuk persamaan matematika, baru kemampuan menghitung diperlukan. Itu pun bukan sebagai sesuatu yang mutlak, sebab pada saat ini telah banyak beredar alat bantu menghitung seperti kalkulator dan komputer. Jadi, mitos yang lebih tepat adalah matematika selalu berhubungan dengan pemahaman dan penalaran.

4). MITOS KEEMPAT, MATEMATIKA ADALAH ILMU ABSTRAK DAN TIDAK BERHUBUNGAN DENGAN REALITA. 

Mitos ini jelas-jelas salah kaprah, sebab fakta menunjukkan bahwa matematika sangat realistis. Dalam arti, matematika merupakan bentuk analogi dari realita sehari-hari. Contoh paling sederhana adalah solusi dari Leonhard Euler, matematikawan Prancis, terhadap masalah Jembatan Konisberg. Selain itu, hampir di semua sektor, teknologi, ekonomi dan bahkan sosial, matematika berperan secara signifikan. Robot cerdas yang mampu berpikir berisikan program yang disebut sistem pakar (expert system) yang didasarkan kepada konsep Fuzzy Matematika. Hitungan aerodinamis pesawat terbang dan konsep GPS juga dilandaskan kepada konsep model matematika, goneometri, dan kalkulus. Hampir semua teori-teori ekonomi dan perbankan modern diciptakan melalui matematika.

5). MITOS KELIMA MENYEBUTKAN, MATEMATIKA ADALAH ILMU YANG MEMBOSANKAN, KAKU, DAN TIDAK REKREATIF.
Anggapan ini jelas keliru. Meski jawaban (solusi) matematika terasa eksak lantaran solusinya tunggal, tidak berarti matematika kaku dan membosankan. Walau jawaban (solusi) hanya satu (tunggal), cara atau metode menyelesaikan soal matematika sebenarnya boleh bermacam-macam. Sebagai contoh, untuk mencari solusi dari dua buah persamaan, dapat digunakan tiga cara yaitu, metode subtitusi, eliminasi, dan grafik. Contoh lain, untuk membuktikan kebenaran teorema Phytagoras, dapat dipergunakan banyak cara. Bahkan menurut pakar matematika, Bana G. Kartasasmita, hingga saat ini sudah ada 17 cara untuk membuktikan teorema Phytagoras. Solusi matematika yang bersifat tunggal menimbulkan kenyamanan karena tegas dan pasti. Selain tidak membosankan, matematika juga rekreatif dan menyenangkan. Albert Einstein, tokoh fisika terbesar abad ke-20, menyatakan bahwa matematika adalah senjata utama dirinya dalam merumuskan konsep relativitasnya yang sangat terkenal tersebut. Menurut Einstein, dia menyukai matematika ketika pamannya menjelaskan bahwa prosedur kerja matematika mirip dengan cara kerja detektif, sebuah lakon yang sangat disukainya sejak kecil. Memang, cara kerja matematika mirip sebuah games. Mula-mula kita harus mengidentifikasi variabel-variabel atau parameter-parameter yang ada melalui atributnya masing-masing. Setelah itu, laksanakan operasi di antara variabel dan parameter tersebut. Yang paling menyenangkan, dalam melakukan operasi kita dibebaskan melakukan manipulasi (trik) semau kita agar sampai kepada solusi yang diharapkan. Kebebasan melakukan manipulasi dalam operasi matematika inilah yang menantang dan mengundang keasyikan tersendiri, bak sedang dalam permainan atau petualangan. Karena itu, tidak mengherankan jika terkadang kita menjumpai siswa yang asyik menyendiri dengan soal-soal matematikanya. Selain itu, secara intrinsik matematika juga memiliki angka berupa bilangan bulat yang mengandung misteri yang sangat mengasyikkan. Misalnya Anda melakukan operasi perkalian maupun pertambahan terhadap dua bilangan tertentu, maka terkadang akan muncul bilangan yang memiliki bentuk simetri tertentu. Contoh lain, Anda dapat menunjukkan kemahiran menebak dengan tepat angka tertentu yang telah mengalami beberapa operasi. Bagi yang belum memahami matematika, kemampuan Anda menebak angka dianggap sihir, padahal itu merupakan operasi. Matematika adalah ilmu yang mudah dan menyenangkan. Karena itu, siapa pun mampu mempelajarinya dengan baik. Untuk itu, tugas utama kita adalah merobohkan mitos-mitos sesat di sekeliling matematika.

Semoga info tersebut bermanfaat.

Angka Unik.....

ANGKA UNIX SOULMATEMATIKA

Sumber: Soul-mate-matika

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 98765543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 9 = 111111111

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

9 x 9 = 81
99 x 99 = 9801
999 x 999 = 998001
9999 x 9999 = 99980001
99999 x 99999 = 9999800001
999999 x 999999 = 999998000001
9999999 x 9999999 = 99999980000001
9999...9999 x 99999999 = 9999999800000001
999999999 x 999999999 = 999999998000000001

6 x 7 = 42
66 x 67 = 4422
666 x 667 = 444222
6666 x 6667 = 44442222
66666 x 66667 = 4444422222
666666 x 666667 = 444444222222
6666666 x 6666667 = 44444442222222
66666666 x 66666667 = 4444444422222222
666666666 x 666666667 = 444444444222222222

Puisi Matematika 3

Puisi Matematika: Guru Matematikaku

Salam Soulmate dan Salam Sejahtera

Oleh: Edy Suwarno

Diwajahnya ada bintik-bintik hitam(x,y)
Jerawat memang,
Tapi bukan buatan
Alis matanya rapi bukan diarsir
Bola matanya kongruen dan ekuivalen

Guru matematikaku
Tiap hari bermain angka-angka
Tapi tidak sedang menghitung gaji
Karena gajinya cukup dieja dengan lima jari
Dihubungkannya garis,
Kadang vertikal, sekali waktu horizontal
Tapi bukan sedang membuat sketsa rumah
Karena baginya rumah tinggal menempati
Mau tipe 21, tipe 36, atau yang RSS
Rumah sangat sempit atau rumah sedikit semen

Guru matematikaku
Dahinya terlihat jelas, garis-garis sejajar sumbu x
Suaranya lantang, lugas, tegas bilangan prima
Senyumnya lepas bilangan tak terhingga

Guru matematikaku
Giginya putih bilangan asli
Dadanya bidang segitiga sama kaki
Badannya tegak vertikal

Guru matematikaku
Gajinya berbanding terbalik dengan jasanya
Jasanya berbanding senilai dengan harapan-harapannya
Ucapan dan pikirannya selalu positif
Hasilnya selalu berharga mutlak
Dikuadratkan
Menteri-menteri
Dokter-dokter
Pegawai negeri-Pegawai negeri
Kuli-kuli
Dan masih banyak lagi
Masih banyak lagi

Guru matematikaku
Bila berjalan ditundukkan kepalanya 120 derajat
Langkahnya sedikit diseret agak loyo
Maklum terlalu banyak membawa rumus
Tak senang melihat pengangguran
Diakhir pertemuan ia selalu berkata PR
Bila sedang marah ia hanya berkata
"coba hitung, sejuta pangkat seribu"

Matematika 5A1 : Koset dan teorema Lagrange

KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE PADA STRUKTUR ALJABAR

Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Struktur Aljabar

Dosen  : Yenni, M.pd

( Kelompok 5 )

Nama :

v  Alis

v  Annisa Kholis

v  Dewi Putri Marwati

v  Nia Amelia

Kelas : 5AI ( FKIP MATEMATIKA )

Semester V

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

Jl. Perintis Kemerdekaan I/33 Cikokol

TANGERANG

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT  yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah mengenai “Koset dan Teorema Lagrange pada Struktur Aljabar”. Dalam meyelesaikan makalah penulis telah berusaha untuk mencapai hasil yang  maksimum, tetapi dengan keterbatasan wawasan pengetahuan, pengalaman dan kemampuan yang dimiliki, serta media yang terbatas, makalah ini dapat terselesaikan dengan baik dan tepat pada waktunya.

Terselesaikannya makalah ini tidak lepas dari bantuan dosen pembimbing  yaitu Ibu Yenni, M.Pd. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada dosen pembimbing mata kuliah Struktur Aljabar.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan dan sempurnanya makalah ini sehingga dapat bermanfaat bagi para pembaca.

                                       

                                                     

Tangerang,  November  2012

                                                                                                                                       Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

     Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melakukan perhitungan-perhitungan, seperti operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perkalian matriks, penjumlahan matriks, dan sebagainya. Operasi-operasi tersebut dilakukan dalam suatu himpunan, seperti himpunan semua bilangan bulat, himpunan semua bilangan real, himpunan semua matriks 2x2 atas bilangan real, dan sebagainya.

     Struktur Aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan      suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang peranan penting dalam struktur aljabar karena dapat membentuk suatu konsep baru yang disebut modul.

     Gagasan utama dalam mempelajari Struktur Aljabar adalah salah satunya mengenai “Koset”. Namun, sekarang ini masih banyak yang belum memahami koset secara sepenuhnya termasuk dalam meninjau dari berbagai aspek, sehingga kaitan antara Defenisi, Teorema, dan penggunaannya dalam menyelesaikan masalah belum nampak jelas.

     Oleh karena itu, kami mencoba membahas secara lebih mendalam mengenai “Koset dan Teorema Lagrange” yang disertai dengan pembuktian dan contoh dari beberapa teorema agar dapat lebih mudah mengetahui konsep yang dikandung dalam teorema tersebut.

B. Rumusan Masalah

      Dengan memperhatikan latar belakang di atas, penulis dapat merumuskan masalah pada makalah ini dengan pertanyaan sebagai berikut :

1.  Bagaimanakah pemahaman mengenai koset?
2. Sejauhmanakah keterkaitan koset dengan teorema lagrange?

C. Tujuan

      Makalah ini di susun dengan tujuan :

1. Untuk mengetahui pemahaman mengenai koset
2. Untuk memahami keterkaitan koset dengan teoreme lagrange.

BAB II

PEMBAHASAN

A. KOSET

     Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Akan kita definisikan Koset kanan (kiri) dari H.

Definisi 1. Diberikan H subgrup dari G dan aÎG.

1. Himpunan aH = {ah   hÎH} disebut dengan koset kiri dari H yang ditentukan oleh

            a (yang memuat a).

2. Himpunan Ha = {ha   hÎH} disebut dengan koset kanan dari H yang ditentukan

           oleh a (yang memuat a).

Hal ini menunjukkan pada kita, bahwa koset kanan Ha paling sedikit mempunyai satu anggota yaitu a, demikian juga koset kiri aH. Akibatnya baik koset kanan maupun koset kiri tidak kosong. Pertanyaan selanjutnya, apakah aH = Ha? Untuk menjawab pertanyaan ini, perhatikan
contoh berikut.

Contoh :

1. Misalkan (G,+) = Z4 adalah suatu Grup dan H = {0,2} adalah merupakan

            Subgrup dari G. Tentukan koset kiri dan koset kanan dari H dalam G.

            Penyelesaian :

         (G,+) = Z4 = {0, 1, 2, 3}, generatornya 0, 1, 2, dan 3

         Koset kiri :      0 + H = 0 + {0,2} = {0,2}

                                   1 + H = 1 + {0,2} = {1,3}

                                   2 + H = 2 + {0,2} = {2,0}

                                   3 + H = 3 + {0,2} = {3,1}

         Koset kanan:  H + 0 = {0,2} + 0 = {0,2}

                                  H + 1 = {0,2} + 1 = {1,3}

                                  H + 2 = {0,2} + 2 = {2,0}

                                  H + 3= {0,2} + 3 = {3,1}

        

          Sehingga :

            0 + H = H + 0= {0,2}

            1 + H = H + 1= {1,3}

            2 + H = H + 2 = {0,2}

            3 + H = H + 3 = {1,3}

            Maka koset kiri = koset kanan

2. Misalkan G3 adalah suatu Grup dalam S3 terhadap perkalian dan

            H ={(1), (1 2 3), (1 3 2)} adalah Subgrupnya. Carilah koset kiri dan koset

            kanan dengan generator a = (1 2).

            Penyelesaian :

            Diketahui :

            H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}

                =

         

              a = (1 2)

                 =

Koset Kiri :

aH =  

     = 

     =   {(1 2), (2 3), (1 3)}

Koset Kanan :

Ha =  

      = 

       =   {(1 2), (2 3), (1 3)}

Jadi koset kiri = koset kanan

Berikut ini diberikan dua sifat dari koset.

Teorema 1. Diberikan H subgrup dari G dan aÎG.

1.  Jika G Abelian, maka aH = Ha .
2.  eH = He = H

Bukti:

1.  Diketahui G abelian , diambil sebarang aÎG, maka diperoleh bahwa

             aH = {ah   hÎH} = {ha     hÎH} = Ha .

2. Diketahui  e adalah elemen identitas dari G, akibatnya diperoleh bahwa

           eH = {eh     hÎH} = {h    hÎH} = H

           He = {he    hÎH} = {h    hÎH} = H

Dengan demikian teorema terbukti.

Teorema 2. Jika h anggota sebarang dari H, dan H merupakan subgroup dari grup G, maka Hh = H dan hH = H.

Bukti:

Karena H subgroup dari grup G, maka jelas H ≠ ø.

Ambil h Î H sebarang.

Akan ditunjukkan  Hh = H dan hH = H

Untuk itu ambil sebarang xΠHh.

Maka x dapat ditulis dalam bentuk:

x = h’h untuk suatu h’ Î H

diketahui H subgroup dan hΠH, h’ΠH.

akibatnya h’h Î H atau x = h’h Î H, ini menunjukkan

                         Hh ⊂ H                                               … (i)

Selanjutnya ambil sebarang y Î H

Pandang y = ye, dimana e unsur identitas di H

                         = y(h^-1h)             [h Î H     dan     h^-1h = e]

                         = (yh^-1)h             [assosiatif]

Karena y  Î H, h Î H, maka y Î H, h^-1 = H

Akibatnya yh^-1 = H. tetapi y = (yh^-1)h

Maka            y = Hh. Hal ini menunjukkan bahwa:

                         H ⊂ Ha                                              … (ii)

Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa Hh = H

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan hH = H.

Contoh

Perhatikan kembali Contoh 5.1, yaitu G = {1,-1,i,-i} dan (G,x) membentuk grup, H= {-1,1}, merupakan subgroup G. Selanjutnya, ambil -1,1 H maka

                         1 × H = {-1,1} = H        H × 1 = {-1,1} = H

                      -1 × H = {1,-1} = H          H ×-1= {1,-1} = H

Teorema 3. Diberikan H subgrup dari G dan a,bÎG, maka

1. aH = bH jika dan hanya jika aÎH .
2. Ha = Hb jika dan hanya jika a ÎH .

Bukti :

1. (⇒) Diketahui aH = bH, akan ditunjukkan bahwa aÎ H .

           ambil sebarang a, b Î G sedemikian sehingga aH = bH

           karena e Î H ( e unsur identitas ) maka  ea = Ha atau a ÎH

           dari hipotesis diketahui aH = bH. Akibatnya diperoleh

           aH = bH               a = bH        ( karena a ÎH dan Ha = Hb )

                              a = (bH)    [kedua ruas dikalikan dengan

                              a = (b ) H

                              a = ( b) H

                              a = e H    

                              a =  H      [karena eH = H]

          Diketahui H subgrup dari G maka a Î H.

           (Ü) Diketahui aÎ H, akan ditunjukkan bahwa aH = bH, yaitu

           Untuk itu diperhatikan :

           aÎ H                     aH = H        [ dari teorema ]

                                               baH   =  bH

                                                     eaH  =  bH

                                                       aH  =  bH

           dengan demikian disimpulkan, aH = bH jika dan hanya jika aÎ H.

2. (⇒) Diketahui Ha = Hb, akan ditunjukkan bahwa a ÎH.

ambil sebarang a, b Î G sedemikian sehingga Ha = Hb

karena e Î H ( e unsur identitas ) maka  ae = Ha atau a ÎH.

dari hipotesis diketahui Ha = Hb. Akibatnya diperoleh

          Ha = Hb               a = Hb        ( karena a ÎH dan Ha = Hb )

                              a = (Hb)    [kedua ruas dikalikan dengan ]

                              a = H (b )

                              a =  He    

                              a =  H      [karena eH = H]

          Diketahui H subgrup dari G maka a Î H.

(Ü) Diketahui aÎ H, akan ditunjukkan bahwa Ha = Hb, yaitu

Untuk itu diperhatikan :

aÎ H                     Ha = H        [ dari teorema ]

                                 Hab   =  Hb

                                         Hae  =  Hb

                                           Ha  =  Hb

dengan demikian disimpulkan,

Ha = Hb jika dan hanya jika aÎ H.

Teorema 3. Diberikan H subgrup dari G dan  a, b Î G, maka aH = bH atau aH ÇbH = Æ.

Bukti : Diberikan a,bÎG. Misalkan aH ÇbH ¹ Æ , akan ditunjukkan bahwa aH = bH .

             Diketahui aH ÇbH ¹ Æ, maka terdapat x Î aH Ç bH

                                                          sehingga  x Î aH dan  x Î bH.

            Akibatnya x = ah dan x = bk , untuk suatu h, k ÎH

            Sehingga a = k.

            Diketahui H subgrup dari G dan h, k ÎH, akibatnya aÎ H .

            Berdasarkan teorema 2, diperoleh bahwa aH = bH.

Setelah diberikan konsep mengenai koset dan indeks, berikut ini diberikan mengenai teorema Lagrange.

B. Teorema Lagrange

     Suatu pedoman yang sering digunakan untuk menentukan banyaknya subgrup yang berbeda dari suatu grup terhingga, yaitu banyaknya anggota dari subgrup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya. Teorema tersebut dikenal sebagai Teorema Lagrange.

Teorema 1. Diberikan grup hingga G dan H subgrup dari G, maka order dari H membagi habis order dari G. secara khusus  G = [G: H][H]

Bukti :

Misalkan G grup terhingga dan H subgroup dari G

Maka jelas H juga terhingga. Sebut   (H) = m dan (G) = n

Karena (H) = m, maka H mempunyai m anggota yang berbeda.

Tulis m anggota dari H tersebut, yaitu h₁, h₂, h₃, …, h_m

Oleh karena itu, untuk sebarang a anggota elemen  G, koset kanan Ha yaitu:

Ha = { h₁a, h₂a,  …, h_ma}

Jelas h_ia ≠ h_ja untuk i ≠ j.

(karena jika diandaikan  h_ia=h_ja, maka hokum pencoretan kanan memberikan h_i=h_j, yang kontradiksi dengan asumsi bahwa h_i ≠ h_j untuk  i ≠ j).

Jadi, Ha mempunyai m anggota yang berbeda.

Sehingga setiap koset dari H di G memuat m anggota yang berbeda.

Selanjutnya , misalkan G memuat  k  koset kanan yang berbeda itu.

Akibatnya k koset kanan akan mempunyai mk anggota yang berbeda.

Oleh karena itu, G mempunyai mk anggota, dengan kata lain:

                  (G) = mk

atau   n   = mk

Jadi m | n

ini berarti (H) membagi (G).

Karena n = mk, maka n/k  = m, akibatnya indeks subgroup dari grup terhingga, membagi orde grup tersebut.

Contoh: Diberikan grup  dan 2 subgrup  dan   maka

Akibat 1.1. Jika order dari G adalah suatu bilangan prima, maka G siklik.

Bukti : Misalkan G = p , untuk suatu bilangan prima p. Diketahui p ³ 2 , maka dapat diambil suatu   aÎG dengan a ¹ e, sehingga (a) ¹ 1.

Berdasarkan akibat 1.1., maka order dari a membagi habis order dari G yaitu p.

 Diketahui G = p dengan p adalah bilangan prima, artinya p hanya dapat dibagi oleh 1 dan p  sendiri.

Diketahui (a) ¹ 1, akibatnya (a) = p , yang berarti bahwa = G

Terbukti bahwa G merupakan grup siklik dengan elemen pembangunnya adalah a.

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

ñ  Koset kanan Ha maupun koset kiri aH memiliki paling sedikit satu anggota sehingga baik dari koset kanan maupun koset kiri tidak kosong.

ñ  Jika H subgroup dari grup terhingga G, maka banyaknya koset kanan (kiri) yang berbeda dari H, sama dengan banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda dari H.

ñ  Teorema lagrange adalah banyaknya anggota dari subgroup selalu membagi banyaknya anggota dari grupnya.

B. Saran

ñ  Hendaknya  pembaca tidak sekedar mampu mengetahui dan mengaplikasikan Teorema Koset dalam Struktur Aljabar tapi mereka harus mengetahui tentang bagaimana proses ditemukannya atau dalam artian sejarahnya

 DAFTAR PUSTAKA

ñ  WWW.GOOGLE.COM

ñ  http://www.linkpdf.com/ebookviewer.php?url=http:/elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/pengantar struktur diskrit/bab2-grup dan semigrup.pdf. (28 april 2011).