Matematika 5B1 : Sub Grup Normal

TUGAS STRUKTUR ALJABAR

DOSEN : YENNI M.Pd

Kelompok enam

1.   Cholifah

2.   Dede Maulana

3.   Nesti Elvia Yurina

4.   Pia Indriawati

5.   Leni Dwi Marlita

5 B1 Matematika

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

2012/2013

Kata Pengantar

Puji dan syukur kepada Alaah SWT, yang telah melimpahkan rahmatnya kepada seluruh makhluk yang berada di dunia.Rangkaian sholawat dan salam semoga selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, serta keluarga dan sahabatnya. Dengan rahmat dan hidayahNya, saya dapat menyelesaikan tugas ini.

Saya menyadari masih banyak kekurangan dalam menulis tugas ini, baik dari segi materi, penulisan kalimat, maupun ungkapan bahasa. Hal ini disebabkan keterbatasan kemampuan yang saya miliki masih jauh dari kesempurnaan, namun demikian kami berusaha semaksimal mungkin untuk menyusun tugas ini dengan sebaik-baiknya.

            Oleh karena itu saya mengahrapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan penulisan tugas yang akan dating.

            Akhir kata, besar harapan saya semoga tugas ini dapat bermanfaat bagi khususnya dan bagi para pembaca pada umumnya.

Pengertian Subgrup Normal

Definisi  1:

Jika N subgroup dari G, maka N disebut subgroup normal dari G jika dan hanya jika gN = Ng untuk setiap g  G

Contoh :

G = {I,a,b,c,d,e} dan (G, . ) grup dengan . Perhatikan permutasi

i = (1) (2) (3)

a = (1 2 3)

b = (1 3 2)

c = ( 2 3 )

d = ( 1 3 )

e = (1 2)

Perhatikan contoh subgroup S = {I,c} Sehingga  x  G maka xS = Sx

Jadi, S = {I,c} bukan subgroup normal

Ambil sekarang N = {I,a,b} subgroup dari G.

Koset kanan dari N dalam H adalah

Ni = {I,a,b}     Nc = {ic,ac,bc} = {c,e,d}

Na = {a,b,i}    Nd = {id,ad,bd} = {d,c,e}

Nb = {b,i,a}    Ne = {ie,ae,be} = {e,d,c}

Koset kiri dari N dalam G adalah

iN = {I,a,b}     cN = {ci,ca,cb} = {c,d,e}

aN = {a,b,i]     dN = {di,da,db} = {d,e,c}

bN{b,i,a}        eN = {ei,ea,eb} = {e,c,d}

 x G memenuhi xN = Nx

Jadi, N = {I,a,b} subgroup normal

Catatan : Subgrup di atas hanya dapat di gunakan pada subgroup yang berhingga.

Definisi 2 :

Jika N adalah dari grup(G,. ),maka N di sebut subgrup normal dari G jika dan hanya jika untuk setiap g G dan n N berlaku hubungan g.n.  N

Contoh :

Perhatikan grup G,yaitu grup permutasi dari tiga elemen, misalnya 1,2, dan 3

G = {(1) = I,(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)}.

Subgrup dari G ,yaitu N = {(1),(1 3 2),(1 2 3)}.Periksalah bahwa n adalah subgrup dari G

Diambil elemen g  G dan elemen n N,

Misal g = (1 2) dan n = (1 3 2)

Karena G suatu grup dan g G,maka ada   S.Jika Gg = (1 2) maka  = (2 1)

Periksalah bahwa g  = .g = 1

Jawab :

g . n .  = (1 2). (1  3 2) . (2 1) = ( 2 3) . (2 1) = (1 2 3) N

Ambil lagi elemen – elemen dari G dan N yang lain, dan bentuklah g . n . dengan g  G dan n N,Misalnya :

(1 3). (1 2 3).(3 1) = ( 2 3 ).(1 3) = ( 1 3 2) N

(2 3). (1 3 2). (3 2) = (1 3).( 2 3) = ( 1 2 3)N

( 1 3 2). ( 1 3 2) . (2 3 1) = ( 1 3 2) N

Jadi N adalah subgrup normal dari G.

Contoh :

G ={  | a,b,c,d  R,ad – b |c 0}

S = {  | a, d  R,ad 0}

( S,x) subgrup dari G.

Ambil g = G, =  G, dan p =   N

g . p . =  | S

Jadi, S bukan subgrup normal dari G

Sifat – sifat subgrup normal

·         Jika N adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika gN = N untuk setiap g G.

Bukti :

1)      Akan di buktikan : N subgrup Normal dari

g G, g N = N Jika g G,maka   G.

Kalikan ruas kanan dan ruas kiri dengan  dari kanan

gN = Ng

gN   = Ng

gN = N

gN = N

2)      Akan dibuktikan : g G, gN = N maka N subgrup normal.

Kalikan ruas kanan dan kiri dengan g dari kanan

gN = N

gNg = Ng

gNi = Ng maka gN.Jadi N adalah normal subgrup.

Dari 1) dan 2) diperoleh :

N subgrup normal jika dan hanya jika gN = N

·         Jika N suatu subgrup dari G, maka N adalah subgrup normal dari G jika dan hanya jika hasil kali dua koset kanan dari N dalam G adalah koset kanan dari N dalam G pula.

Bukti :

Dibuktikan : N subgrup normal dari G maka Na Nb = N(a.b) untuk a,b G.

N subgrup normal dari G maka Na = aN untuk setiap a G.Untuk setiap a,b G

Na Nb = N (aN)b

             =  N (Na)b

            =   NN (a.b)

            = N (a.b)

a,b G dan (G, . ) maka (a. b) G berarti N(a. b) adalah koset kanan dari N dalam G.

Grup Faktor

Jika (G, .)suatu grup dan N adalah subgrup normal dari G, maka G/N terhadap operasi perkalian himpunan merupakan suatu grup.

Rumus :

N (G/N) =

Contoh :

G = {I,a,b,d,e}, (G, .)grup himpunan permutasi dengan operasi perkalian permutasi

i = (1) (2) (3)

a = (1 2 3)

b = (1 3 2)

c = (2 3)

d = (1 3)

e = (1 2)

Perhatikan koset kanan dari N = {i,a,b}

Ni = Na = Nb {I,a,b}

Nc = Nd = Ne = {c,d,e}

Faktor grup G/N = {Ni,Nc} = [{I,a,b},{c,d,e}]

N(G/N) =   = 2

PENUTUP

Tugas Struktur Aljabar Apabila dalam penyusunan tugas ini masih banyak kesalahan dan kekurangan, saya mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca, agar saya dapat membuat tugas selanjutnya yang lebih baik lagi. Dan dapat berguna bagi kita semua khususnya dan yang lain pada umumnya.