Matematika 5B2 : Grup Simetri dan Grup Siklik

                                                 GRUP SIMETRI DAN GRUP SIKLIK

Oleh :

Yuli Nurfiana

Cholidah

Siti Romlah

Fitriyani

Indah Fitriyana

 

A.    GRUP SIMETRI

1.      PERMUTASI

a.      Pengertian permutasi

Suatu permutasi adalah pemetaan satu lawan satu atau fungsi bijektif dari himpunan n, simbol ke himpunan itu sendiri

Misal :

A = {1,2,3,...,n}

Maka permutasinya adalah :

1 ® f(1) =

2 ® f(2) =

3 ® f(3) =

n ® f(n) =

maka permutasi tersebut dapat disajikan dengan notasi 2 baris yaitu:

contoh :

A : {1,2}

Maka permutasinya adalah :

f :1  ® f(1) = 1

f : 2 ® f(2) = 2  maka dapat ditulis f =

g : 1 ® g(1) = 2

g : 2 ® g(2) = 1 maka dapat di tulis g =

jadi terdapat 2 permutasi pada A yaitu :

                         dan

Pada permutasi urutan baris pertama dapat diubah asal bayangan masing-masing anggota tetap, akan menghasilkan permutasi yang sama. Apabila bayangan ada yang berubah , maka akan menghasilkan permutasi lain.

Himpunan A disebut himpunan yang elemen-elemennya dipermutasikan Apabila elemen-elemen yang dipermutasikan diketahui  dengan notasi 2 baris dapat dinyatakan dalam notasi siklis atau dalam bentuk sikel.

Contoh 1:

Ubahlah permutasi berikut menjadi sikel-sikel

a)     

b)       

Jawab : a)  adalah 1®2

 2®3

 3®1

     Maka ditulis 1 ® 2 ® 3 ® 1 atau

Jadi  = (1  2  3)

Jawab  b).  adalah 1 ® 3

2 ® 1

3 ® 2

Maka ditulis 1 ® 3 ® 2  ® 1 atau  

Jadi  = ( 1  3  2 )

Contoh 2 :

Tulislah sikel berikut kedalam notasi 2 baris

a)       ( 1  3  4  2 )

b)      ( 1  3  5 )

Jawaban :

a).1 ® 3 ® 4® 2 berarti 1 ® 3

  3 ® 4

  4 ® 2

  2 ® 1

Jadi ( 1  3  4  2 ) =

            b).1 ® 3 ®5 bertarti 1 ® 3

3 ® 5

5 ® 1

2 ® 2

4 ® 4

Jadi ( 1  3  5 ) =

b).Perkalian Permutasi

Permutasi adalah pemetaan atau fungsi, maka permutasi dapat di komposisikan satu sama lain. Komposisi permutasi disebut juga perkalian permutasi.

Pada komposisi fungsi f o g , g dikerjakan terlebih dahulu dan kemudian dilanjutkan dengan f.dan f o g ¹ g o f

Contoh :

Tentukan perkalian permutasi berikut :

a)        

b)      (1  3  2  4) (1  4  3)

Jawaban:

a)        

1 ® 1 ® 3

2 ® 3 ® 2

3 ® 2 ® 1

Maka hasilnya adalah :

b)      (1  3  2  4) (1  4  3)

Penyelesaian :

  

1 ® 4 ® 1

2 ® 2 ® 4

3 ® 1 ® 3

4 ® 3 ® 2

Maka hasilnya adalah :

c)      Grup Simetri dari Himpunan Permutasi

Pada pengertian diatas telah diketahui bahwa dari A = {1,2} terdapat 2 buah permutasi . maka 2 buah permutasi dari A itu adalah himpunan permutasi P = {a,b} dengan :

a =  dan b =

dengan operasi perkalian permutasi membentuk suatu grup.

Himpunan permutasi merupakan grup dengan operasi perkaliaan permutasi dan disebut grup simetri

Bukti :

Misalkan G = { a ,b,c, ... ,f } dengan a,b,c,d,e,f permutasi dari n simbol.

a =

b =

c =

dengan j1 , k1 , l1 , adalah salah satu dari 1 , 2, 3, ...n

1)      Tertutup

ba =    

=

b e P, a e P ® ba e P

2)      Assosiatif

cb =   

=

(cb) a =  

 =

c (ba) =  

 =

Maka terbukti assosiatif (cb) a =  c (ba)

3)      Mempunyai identitas  

a.i =  

=  = a

4)      Mempunyai invers

Invers dari a =  adalah  =

Karena a.= = i

Begitu pula dengan anggota yang lainnya pula mempunyai invers.

Jadi (G,o) merupakan suatu grup simetri dari himpunan permutasi.

d)     Grup Simetri dari bangun geometri

Suatu bangun geometri dapat dimasukan dalam bingkainya dengan dengan transformasi sehingga bangun itu invarian atau berimpit dengan dirinya sendiri. Bangun geometri tersebut antara lain segitiga sama sisi, bujursangkar, persegi panjang , jajar genjang dan belah ketupat.

Transformasi tersebut adalah rotasi atau pemutaran dan refleksi atau pencerminan.

Sesuatu yyyyy cethaaar knnnnn