BAB
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang
Suka atau
tidak suka seseorang terhadap matematika, namun tidak dapat dihindari bahwa
hidupnya akan senantiasa bertemu dengan matematika, entah itu dalam
pembelajaran formal, non formal maupun dalam kehidupan praktis sehari-hari.
Matematika merupakan alat bantu kehidupan dan pelayan bagi ilmu-ilmu yang lain,
seperti fisika, kimia, biologi, astronomi. oleh karena itu diperlukan
mepelajari trigonometri yang merupakan bagian dari materi matematika agar dapat
mengaplikasikan trigonometri terhadap kehidupan.
Dalam pembahasan trigonometri banyak
manfaat yang diperoleh dalam mengungkap hal-hal yang berhubungan dengan
pengukuran jarak atau diameter suatu benda angkasa,juga pengukuran ketinggian
atau luas suatu bentuk segitiga.dengan demikian diperlukan memahami terlebih
dahulu konsep dari aturan sinus dan kosinus,karena rumus aturan
sinus digunakan untuk menghitung unsur-unsur sebuah segitiga yang belum
diketahui jika sebelumnya telah diketahui tiga unsur lainnya. rumus
aturan cosinus digunakan untuk menghitung panjang sisi sebuah segitiga apabila
diketahui panjang dua sisi lainnya dan besar sudut yang diapitnya. Penggunaan
lain rumus cosinus adalah untuk menghitung besar sudut pada sebuah segitiga
apabila diketahui panjang ketiga sisinya.
1.2
Perumusan
masalah
1.
apa kegunaan dari rumus aturan sinus dan kosinus?
2.
bagaimana penerapan aturan rumus sinus dan kosinus
dalam kehidupan sehari-hari?
3.
bagaimana cara mendapatakan rumus aturan sinus dan
kosinus dari sebuah segitiga?
1.3
Tujuan penulisan
Dapat
mengetahui bagaimana memahami pembahasan trigonometri dengan mempelajari
pembahasan aturan sinus dan aturan cosinus, mencari tahu dari mana rumus aturan
sinus dan kosinus didapat,dan agar memudahkan dalam aplikasi kehidupan.
BAB
II
PEMBAHASAN
Kompetensi
Standar
Kompetensi : Menggunakan perbandingan,
fungsi persamaan, identitas trigonometri dalam pemecahan masalah.
Kompetensi
Dasar :Menggunakan sifat dan aturan
tentang fungsi trigonometri, rumus sinus, dan rumus cosinus dalam pemecahan
masalah.
Setelah mempelajari program ini anda
diharapkan atau mampu :
1. Menggunakan
rumus sinus dalam pemecahan masalah
2. Menggunakan
rumus cosinus dalam pemecahan masalah
2.1 Pengertian Sinus
Rumus
aturan sinus digunakan untuk menghitung unsur-unsur sebuah segitiga yang belum
diketahui jika sebelumnya telah diketahui tiga unsur lainnya. Kemungkinan
unsur-unsur yang telah diketahui adalah :
-
Sisi, sudut, sudut
-
Sudut, sisi, sudut
-
Sisi, sisi, sudut
Salah
satu penerapan rumus sinus pada kehidupan nyata adalah menghitung panjang
sebuah kapal laut yang akan bersandar di pelabuhan dengan menggunakan sudut
deviasi seorang pengawas di mercu suar yang ketika melihat bagian depan dan
bagian belakang kapal tersebut. Untuk lebih jelasnya anda perhatikan contoh dan
simulasi yang akan diberikan.
2.2 Rumus aturan sinus
Cara untuk mendapatkan rumus aturan
sinus pada sebuah segitiga, perhatikan ∆ABC lancip di bawah ini. Tarik garis
AL, BK, dan CM yang masing-masing merupakan garis tinggi pada sisi BC (sisi a),
sisi AC (sisi b), dan sisi AB (sisi c).
C
L
K b a
A M c B
Pada
sisi ∆ACM
Sin
A =
CM
=b sin A .... (1-1)
Pada
∆BCM
Sin
B =
CM
= a sin B .... (1-2)
Berdasarkan
persamaan (1-1) dan (1-2) didapat :
=
Pada
∆ BAL
Sin
B =
AL
= C sin B ..... (1-4)
Pada
∆ CAL
Sin
C =
AL
= b sin c ..... (1-5)
Berdasarkan
persamaan (1-4) dan (1-5) didapat : c sin B = b sin C
=
......
(1-6)
Dengan demikian, berdasarkan
persamaan (1-3) dan (1-6) didapat
=
=
.....
(1-7)
Persamaan (1-7) inilah yang
dinamakan rumus aturan sinus
Contoh
:
1. Pada
∆ ABC, panjang AC = 16 cm, BC = 12 cm, dan sudut A = 30
. Hitung besar sudut B ?
Jawab
:
C
16
12
A B
=
=
=
Sin
B =
Sin
B = 0,67 (teliti sampai 2 tempat desimal )
Sudut
B = 42,07 teliti sampai 2 tempat desimal)
2. Pada
∆ PQR, panjang PQ = 8 cm, sudut P = 30
dan sudut Q = 105
, hitung panjang QR
Jawab :
Sudut R = 180
-
(105
+
30
) R
Sudut R = 45
=
=
P Q
↔
=
↔ p =
↔ p = 2
↔ p =
panjang QR = 2
cm
3. Sebuah
kapal laut sedang berlabuh dalam kedudukan menghadap kesebuah menara dari
puncak menara seorang pengamat melihat bagian depan kapal dengan sudut deviasi
40
dan bagian belakang 60
Tinggi orang yang mengamati kapal itu 1,75 m,
tinggi menara 25 m dan menara berada 13,25 m diatas permukaan laut. Hitung
panjang kapal tersebut.
Jawab : D
∆BD = 180
40 ̊
Sudut CBD = 50
60 ̊
Sudut BDA = 60
Sudut BDA = 20
Sudut ABD = 180
Sudut ABD = 130
Sudut BAD = 180
A B C
Sudut BAD = 30
Sin 50
BD =
BD = 51, 95 AB = 35, 33
Jadi Panjang kapal = 35, 33 m
Latihan
sinus
1. Pada
∆ ABC, panjang AB = 14 cm , BC = 10 cm , A = 45
. Hitung besar sudut C
Jawab :
C
=
=
10
Sin C =
A B
Sin C = 0,99
14
Sudut C = 81, 89
2.
Sebuah kapal laut
sedang berlabuh dalam kedudukan menghadap ke sebuah menara. Dari puncak menara
seorang pengamat melihat bagian depan kapal dengan sudut deviasi 30
dan bagian belakang 80
. Tinggi orang yang mengamati kapal itu
1,60 m, tinggi menara 20 m, dan menara berada 10,40 m diatas permukaan laut. Hitung
panjang kapal tersebut.
Jawab :
D
60 ̊ 30 ̊
Sudut
CBD = 180
Sudut
CBD = 60
Sudut BDA = 80
Sudut BDA = 80
Sudut
BDA = 50
Sudut
ABD = 180
A B C
Sudut
ABD = 120
Sudut
BAD = 180
Sudut
BAD = 10
Sin
60
BD =
BD =
AB =
BD = 36,78 AB = 166,59. jadi Panjang
kapal = 166,59
Simulasi
rumus sinus
1. Sebuah kapal laut sedang berlabuh dalam kedudukan menghadap
kesebuah menara, dari puncak menara seorang pengamat melihat bagian depan kapal
dengan sudut deviasi 45 dan bagian belakang 75. Tinggi orang yang mengamati
kapal itu 1,70 m. Tinggi menara 35 m, dan menara berada 13,30 m diatas
permukaan laut. Hitung panjang kapal tersebut. D
Jawab :
Sudut CBD = 45
Sudut BDE = 30
Sudut ABD = 135
Sudut BAD = 15
BD = 70,71 AB = 136,60 A B
C
Panjang kapal = 136,60 m
2. Sebuah
pesawat udara terbang dari landasan A dengan arah 60
sejauh 500 km ke landasan B. Kemudian
berbelok dengan arah 310
sejauh 300 km ke landasan C dan akhirnya
kembali ke landasan awal. Hitung :
a. Panjang
lintasan pada arah penerbangan terakhir
b.
Arah penerbangan yang terakhir terhadap titik asal landasan
Jawab : C 300`
a.
Sudut ABC = 70
AC = 487,85
b. Sudut
ACB = 73,34
Jadi arah penerbangan
yang terakhir terhadap A 500 B
titik asal landasan
adalah 204,34
Rumus
Aturan Cosinus
2.3
Pengertian
Rumus aturan cosinus digunakan untuk
menghitung panjang sisi sebuah segitiga apabila diketahui panjang dua sisi
lainnya dan besar sudut yang diapitnya. Penggunaan lain rumus cosinus adalah
untuk menghitung besar sudut pada sebuah segitiga apabila diketahui panjang
ketiga sisinya. Salah satu penerapan rumus cosinus pada kehidupan nyata adalah
menghitung panjang lintasan yang dilalui sebuah pesawat udara dari suatu kota
ke kota lain dan arah penerbangannya. Untuk lebih jelasnya anda perhatikan
contoh dan simulasi yang akan diberikan.
2.4 Rumus aturan kosinus
cara untuk mendapatkan
rumus kosinus pada sebuah segitiga perhatikan segitiga ABC lancip dibawah ini.
Garis CD adalah garis tinggi pada sisi C.
|
d
|
a2 = BD2 + CD2
.................. (2-1)
b b a Pada ACD
b CD = B sin A .................. (2-2a)
A
AD = B cos A sehingga BD = AB - AD
A c D B
= c – b cos A ................... (2-2b)
substitusikan
persamaan 2-2a dan 2-2b ke persamaan 2-1 di dapat
a2 = ( c cos A )2
+ ( b sin A )2
a2 = c2 – 2bc cos A + b2 cos2
A + b2 sin2 A
|
a2 = b2 + c2
– 2bc cos A
|
perhatikan
segitiga-segitiga di bawah ini.
|
|
B
D
C C D A
|
c2 = a2 +
b2 – 2ab cos C
|
|
b2 = a2
+ c2 – 2ac cos B
|
Dan
|
Pada
ABC berlaku rumus cosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan :
a2 = b2
+ c2 – 2bc cos A
b2 = a2
+ c2 – 2ac cos B
c2 = a2
+ b2 – 2ab cos C
|
Rumus
cosinus juga dapat digunakan untuk
menghitung
besar sudut suatu segitiga apabila diketahui panjang sisi segitiga tersebut.
Dari rumus a2
= b2 + c2 – 2bc cos A diperoleh :
2bc cos A = b2 + c2
– a2
|
Cos A = b2 + c2 – a2
2bc
|
Dari rumus b2 = a2
+ c2 – 2ac cos B diperoleh 2ac cos B = a2 + c2
– b2
|
Cos B = b2 + c2 – b2
2ac
|
Dari rumus c2 = a2
+ b2 – 2ab cos C diperoleh 2ab cos C = a2 + b2 –
c2
|
Cos C = a2 + b2 – c2
2ab
|
Contoh 1
Pada ABC, panjang AC = 18 cm, BC = 14 cm
dan < C = 120 ̊ hitung panjang AB
Jawab
: C
18 14
A B
`
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
c2
= 142 + 182 -
2(14)(18) cos 120
c2
= 196 + 324 – 504 ( -0,5 )
c2
= 520 + 252
c
=
c
= 27,78
panjang
AB = 27,78 cm
Contoh
2
2. pada
PQR panjang PQ = 20 cm, QR = 16 cm dan PR = 8
cm. Hitung besar sudut p
jawab :
R cos P =
cos P = 82 + 202
- 162
8 16 2(8)(20)
cos P = 64 + 400 - 256
P 20 Q 320
cos P = 208
320
cos P = 0,65
sudut P = 49,46
contoh
3
3. Sebuah
pesawat udara terbang dari landasan dengan arah 050 ̊ sejauh 400 km, kemudian
dengan arah 290 ̊ sejauh 350 km dan akhirnya kembali ke landasan. Hitung :
a. panjang
lintasan pada arah penerbangan terakhir
b. arah
penerbangan yang terakhir terhadap titik asal landasan
jawab
:
ilustrasi tadi dapat digambarkan dalam bentuk bangun segitiga
sebagai berikut.
a.
C
b2 = a2
+ c2 – 2ac cos B B
b2 = 3502 + 4002
– 2(350)(400) cos 60 ̊
b2 = 122500
+ 160000 – 280000 (0,5)
b2 = 142500
b2 =
panjang
lintasan arah penerbangan terakhir = 377,49 km A
b. cos ˂ ACB = a2
+ b2 – c2
2ab
cos ˂ ACB = 3502 + 377,492 - 4002
2(350)(377,49)
cos ˂ ACB = 122500 + 142500 - 160000
264243
cos ˂ ACB = 0,40
˂ ACB = 55,42
Arah penerbangan yang terakhir terhadap titik asal landasan =
110̊ + 55,42 ̊ = 176,42 ̊
LATIHAN
1.
Pada ∆
ABC panjang AC = 16 cm, BC = 10 cm dan ˂ C = 60
. Hitung panjang AB
C
16
A 10 B
Jawab :
C
C2 = a2 + b2
– 2ab cos c
C2 = 102 + 162
– 2(10)(16) cos 60 ̊ 16
C2 = 100 + 256 – 320
(1/2) 10
C2 = 356 – 160
C =
= 14
Jadi
AB = 14 cm
A B
14
2. Pada ∆ PQR panjang PQ = 18 cm
QR = 10 cm, hitunglah besar ˂ P R
Jawab :
cos P =
q2 + r2 - p2 10
12
2qr
= 102 + 182 - 122
2(10)(18) P 16 Q
= 100 + 324 – 144 =
280 cos P = 0,78
360 360 ˂ P = 38, 74 ̊
2.5
Jumlah dan selisih dari
sinus dan cosinus
Sin
A + sin B = 2 sin ½ ( A + B ) cos ½ ( A – B)
Sin
A – sin B = 2 cos ½ ( A + B ) sin ½ ( A – B)
Cos
A + cos B = 2 cos ½ ( A + B ) cos ½ ( A – B)
Cos
A – cos B = - 2 sin ½ ( A + B) sin ½ ( A – B )
Hasil kali sinus
dan cosinus
Sin
α cos β = ½ [ sin ( α + β ) + sin ( α- β ) ]
Cos
α sin β = ½ [ sin ( α + β ) - sin ( α- β
) ]
Sin α sin β = - ½
[ cos ( α + β ) + cos ( α- β ) ]
Contoh 1
1. Nyatakanlah
soal di bawah ini dalam bentuk jumlah atau selisih
a. Sin
40 ° cos 30 °
Jawab :
Sin 40 ° cos 30 °
= ½ [ sin ( 40 ° + 30 ° ) + sin ( 40 ° - 30 °) ]
= ½ (
sin 70 ° + sin 10 ° )
b. Cos
110 ° sin 55 °
Jawab :
Cos 110 ° sin 55 ° = ½
[ sin ( 110 ° + 55 ° ) – sin (
110 ° - 55 ° )
= ½ (sin 165 ° - sin 55
°)
c.
Cos 50
° cos 35 °
Jawab:
Cos 50
° cos 35 ° = ½ [cos (50 0 + 35 0 ) + cos
(500 - 350)]
= ½ (cos 850 + cos 150)
d.
Sin 550 sin 400
Jawab :
Sin 550 sin 400 = -½ [cos
(550 + 400 ) – cos (550 – 400 )]
=- ½ (cos 950 – cos 150
)
Contoh 2
2.
Nyatakanlah
soal-soal dibawah ini dalam bentuk hasil kali
a.
Sin 500
+ sin 400
Jawab :
Sin 500
+ sin 400 = 2 sin ½ (500 + 400 ) cos ½ (500
– 400 )
= 2 sin 450
cos 50
b.
Sin 700
– sin 200
Jawab :
Sin 700
– sin 200 = 2 cos ½ ( 700 + 200 ) sin ½ ( 700
– 200 )
= 2 cos 450
sin 250
c.
Cos 550
+ cos 250
Jawab :
Cos 550
+ cos 250 = 2 cos ½( 550 + 250 ) cos ½ ( 550
– 250)
= 2 cos 450 cos 150
d.
Cos 350
– cos 750
Jawab :
Cos 350
– cos 750 = -2 sin ½ ( 350 + 750 ) sin ½ ( 350
– 750)
= -2 sin 550
sin (-200)
= 2 sin 550
sin 200
BAB III
PENUTUP
3.1
SIMPULAN
Mempelajari
trigonometri berarti kita mempelajari sudut, rumus aturan sinus dan cosinus
sangat membantu dalam membuktikan suatu identitas atau persamaan trigonometri.dari
makalah ini kita dapat mengetahui bagaimana mendapatkan rumus aturan sinus dan
cosinus.oleh karena itu diperlukan pemahaman dalam mempelajarinya,dengan
memahami pembahasan rumus aturan sinus dan aturan cosinus dapat dengan mudah
menghitung panjang sisi suatu segitiga apabila diketahui dua sisi lainnya dan
besar sudut yang diapitnya. dapat menghitung besar sudut pada sebuah segitiga
apabila diketahui panjang ketiga sisinya, dapat mengetahui jumlah dan selisih
dua sudut.
DAFTAR PUSTAKA
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Ayres Frank. ( 2003 ). Matematika
Universitas, Edisi Ketiga. Ciracas, Jakarta : Erlangga.
A. Schmidt
Philip. ( 2003 ). Matematika Universitas, Edisi Ketiga. Ciracas, Jakarta :
Erlangga .
segitiganya kurang kelihatan gan...
BalasHapus