MAKALAH PERSAMAAN DAN
TIDAK PERSAMAAN LINEAR
MAKALAH MATEMATIKA INI
DI TUJUKAN KEPADA
YENNI,
M.Pd
MATA KULIAH : MATEMATIKA
KELAS/SMT : H / 1
NAMA KELOMPOK : SRI
RAHAYU PURWATI (AYU)
AHMAD
SEPUDIN (SAEP)
AHMAD
YAFI (YAFI)
RISMA UTFI ANGGIFA VERANTIKA (ANGGI)
PERSAMAAN LINEAR SATU
VARIABEL(PLSV)
A.
Menggunakan sifat-sifat persamaan
linear satu variabel (PLSV)
1. Kalimat
benar dan kalimat salah
Dalam matematika kita
mengenal istilah pernyataan dimana pernyataan adalah satuan kalimat matematika
yang sudah dapat ditentukan nilai kebenaran dan kesalahannya.
·
Kalimat
benar adalah pernyataan yang sesuai dengan kenyataannya (kebenrannya) misalkan
:
a.
3
+ 4 = 7
b.
Matahari
terbit disebalah timur
c.
Kucing
berkaki empat
d.
2
adalah bilangan prima
·
Kalimat
salah adalah suatu pernyatan yang tidak sesuai dengan sesuai kenyataannya.
Misalkan :
a.
Besar
sudut siku=siku adalah 180%
b.
5
- 8 = 10
c.
Kambing
adalah hewan yang biasa terbang
d.
Matahari
beredar mengelilingi bumi
2.
Pengertian
kalimat terbuka
Kalimat terbuka
adalah suata kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau salahnya.Misalkan :
a.
x
+ 2 = 5
b.
y
- 3 = 4
c.
m
: 4 = 6
d.
p
× 7 = 28
B.
Pengrtian
persamaan linear satu variabel (PLSV)
Persamaan adalah suatu kalimat
terbuka yang dihubungkan dengan tanda dengan (=).Persamaan linear atau variabel
adalah suatu kalimat yang berhubungan dengan tanda sama dengan (=), dengan satu
variabelnya dan variabelnya berpangkat satu. Secara umum persamaan satu
variabel ditulis:
ax
+ b = 0;atau a ≠ 0
Dengan
x sebagai variable (peubah) dan ; a dan b adalah konstanta
Contoh:
persamaan linear satu variabel
a.
2x
+ 8 = 0
b.
5x
- 4 = 16
c.
x
+ 3 = 7
d.
9
- 6 = 5
e.
Berikut
ini diberikan bentuk beberapa persamaan lain yang bukan persamaan linear
satu variabel (bukan PLSV).
Misalkan :
a.
x
+ y = 5 (persamaan dua variabel)
b.
x2
+ 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)
c.
p2
+ q2 = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)
d.
2x
+ 4y + z = 6 (persamaan tiga varibel)
C. Penyelesaian dan himpunan penyelesaian persamaan
linear satu variabel
1)
Pengertian penyelesaian dan himpunan penyelesaian
Penyelesaian
(akar-akar penyelesaian )adalah penganti dari variabel (peubah )pada kalimat
terbuka sehingga suatu persamaan menjadi kalimat yang benar.
Misalkan
: n + 3 = 10, jika n diganti 7 maka menjadi kalimat benar. Berarti n = 7
disebut penyelesaian atau akar-akar penyelesaian.
Himpunan penyelesaian(HP)
Adalah
suatu himpunan yang memuat semua penyelesaian tersebut.
Misalkan
:jika a=(1, 2, 3, 4, 5, 6) dan x + 8 = 12 , x € A. Tentukan:
a.
Penyelesaian
atau akar-akar penyelesaian
b.
Himpunan
penyelesaian
Jawab :
a.
Penyelesaian
:x + 8 = 12
Untuk
x = 4 → 4 + 8 = 12
Maka
x = 4 adalah penyelesaian atau akar-akar penyelesaiannya
b.
Himpunan
penyelesaian (HP) = (12)
2)
Menyelesaiaan
persamaan linear satu variabel
a)
Dengan
cara sudstitusi
Artinya
menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti variabel dengan bilangan-bilangan
yang telah ditentukan sehingga menjadi kalimat yang benar.
Contoh:
Jika
A= (1, 2, 3, 4, 5) dan x + 2 = 5, x € A
jawab
:
dengan
memilih pengganti x, maka diperoleh:
x +
2 = 5
jika
x, diganti 3 maka akan menjadi kalimat benar. Jadi, x = 3 adalah penyelesaian
dan jika x diganti dengan 1, 2, 3, 4, 5 menjadi kalimat salah berarti 1, 2, 3, 4,
5 bukan penyelesaian dari persamaan x + 2 = 5.
b)
Dengan
persamaan ekulivalen(setara)
Persamaan
ekulivalen (setara) adalah suatu persamaan-persamaan yang mempunyai
penyelesaian yang sama jika dilakukan operasi tertentu persamaan ekulivalen
notasinya”ó”.
a.
Menambah
atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
b.
Mengalihkan
atau membagi kedua rumus dengangn bilangan yang sama yang bukan nol.
Contoh
:
1.
Persamaan
ekulvalen dengan menambahkan atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang
sama.
Tentukan
HP dari:
a)
x
+ 12 = 20
b)
x
- 9 = 15
Jawab:
a)
x
+ 12 = 20
ó x + 12 = 20 - 12
(kedua
ruas dikurangi 12)
ó x = 8
Jadi,
HP = {8}
b)
x – 9 = 15
ó x - 9 + 9 = 15 - 9
(kedua
ruas ditambah 9)
ó x = 24
Jadi, HP ={24}
D. PENERAPAN PERSAMAAN LINEAR SATU
VARIABEL (PLSV) DALAM KEHIDUPAN SEHARI – HARI
Langkah-langkah untuk
menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari yang berupa
soal cerita adalah sebagai berikut :
1.
Buat
model atau sketsa terhadap soal yang berkaitan dengan bangun geometri.
2.
Menerjemahkan
kalimat cerita menjadi kalimat matematika dalam bentuk suatu permasalahan.
3.
Menyelesaikan
persamaan itu.
Contoh
:
1.
Keliling
persegi panjang 64 cm. Jika ukuran panjang dari lebarnya,
tentukanlah
:
a.
Panjang
dan lebarnya
b.
Luasnya
Jawab :
L=(x-8)cm
Misalnya,
panjangnya = x cm
Maka
lebarnya = (x-8)
a. Keliling
= 2p + 2l
K= 2 (p+l)
64= 2 (x+x-8)
64=
2 (2x-8)
64=
4x-16
64 + 16
= 4x-16+16
80=
4x
20 = x
Jadi, panjang
= x= 20
Lebar = (x –
8)
Lebar
= 20 - 8 = 12 cm
b. Luas = p x l
= 20 x 12
= 240 cm
PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU
VARIABEL(PTLSV)
A. Pengrtian
pertidaksamaan linear satu variabel (PTLSV)
1. Pengertian
ketidaksamaan
Ketidaksamaan
adalah suatu kalimat matematika yang dihubungkan dengan tanda ; >, <, ≥
atau ≤ missal:
a) 2
+ 3 < 8
b) 6
+ 7 > 4 + 5
Untuk sembarangan
bilangan m dan n dengan m ≠ n maka selalu berlaku salah satu hubungan sebagai
berikut :
a) m
<, n (m “kurang dari” n)
b) m
>, n (m “lebih dari” n)
c) m
≤ n ( m ”lebih dari atau dengan” n)
d) m
> n (m ”lebih dari atau sama dengan” n)
Contoh : tulislah dalam
bentuk ketidaksamaan dari :
a. 5
kurang dari 8
Jawab : 5 < 8
b. 4
terletak di antara 3 dan 5
Jawab
: 3 < 4 < 5
2. Pengertian
pertidaksamaan linear satu variabel ( PTLSV )
PTLSV
adalah suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda >,<,≥,atau≤
dengan satu variabel dan variabelnya berpangkat satu.
Contoh
:
a. X
+ 2 > 9
b. M
– 4 < 3
PERSAMAAN
LINEAR DUA VARIABEL(PLDV)
1.
Persaman
linaer dua variabel (PLDV)
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung
konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan
linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam
Sistem koordinat Kartesius
Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di
atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang
lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta,
dan x dan y adalah variabelnya.
Persamaan
dua variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dengan pangkat
masing-masing variabel sama dengan satu.
Bentuk
umum PLDV adalah:
|
ax + by + c = 0, dengan a, b tidak semuanya
nol dan a, b, c merupakan bilangan riil.
|
x
dan y disebut variabel, a dan b
disebut koefisien, dan c disebut konstanta.
Penyelesaian atau akar PLDV ax + by
+ c = 0 adalah bilangan-bilangan pengganti x dan y, sehingga PLDV tersebut
bernilai benar. Misalnya salah satu
penyelesaian adalah x = p,maka penyelesaian yang lainnya adalah y =
. Dengan demikian,
himpunan penyelesaian PLDV ax + by + c = 0 adalah:
|
{(x, y) | x = p dan y =
; p € R }
|
2.
System
persamaan linear dua variabel (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua
variabel adalah satu kesatuan (system) dari dua atau lebih persamaan dua variabel.
Ø Bentuk Umum
Dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya
bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah
disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik
persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap
garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A
≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika
garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a.
Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y
adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan
dengan rumus -c/b.
Bentuk umum SPLDV
adalah:
Dengan : x dan y disebut
variabel/peubah
a, b, m dan n disebut koefisien
c dan p disebut konstanta
Ø Bentuk standar
di mana, a dan b
jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif.
Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua
bentuk, apabila a dan b adalah nol.
Penyelesaian atau akar
SPLDV
Adalah bilangan
pengganti x dan y yang memenuhi kedua persamaan padaSPLDV itu. Jika hanya
memenuhi salah satu persamaan saja, maka bilangan pengganti tersebut bukan
merupakan akar SPLDV itu.
Misalkan SPLDV:
1)
Jika
, maka SPLDV-nya
memiliki satu penyelesaian atau akar
tunggal.
2)
Jika
,
maka SPLDV-nya memiliki penyelesaian.
3)
Jika
, maka SPLDV-nya memiliki banyak penyelesaian.
Ø Bentuk titik potong gradien
· Sumbu-y
dimana m merupakan
gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan
dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan
nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y,
dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan
koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan
koordinat x yang
· Sumbu-x
dimana m merupakan
gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan
titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan
dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m
dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya
dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana
nilai y sudah diberikan.
3.
Penyelesaian
SPLDV
Menyelesaikan
SPLDV berarti menentukan akar dari SPLDV ini. Beberapa metode yang harus
ditempuh untuk menyelesaikan SPLDV adalah :
a. Metode
grafik
Langkah-
langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik adalah:
1) Menggambarkan
grafik himpunan penyelesaian dari masing-masing PLDV.
2) Menentukan
titik potongan dari grafik-grafik pada langkah 1)
y y
ax
+ by = c ax
+ by = c
x x
0 0
mx +
ny = p mx +ny = p
(akar tunggal) (tidak memiliki
akar)
y
ax
+ by = c
x
0 mx + ny = p
(banyak akar)
b. Metode
substitusi
Menyelesaikan SPLDV dengan metode
substitusi dilakukan dengan cara menggantikan
satu variabel dari persamaan yang satu dengan variabel dari persamaan yang
lain.
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV
dengan metode substitusi adalah:
1) Mengubah
salah satu persamaan menjadi bentuk y = ….. atau x =…..
2) Substitusikan
(masukan ) bentuk tersebut ke persamaan kedua.
c. Metode
eliminasi
Menyelesaikan SPLDV dengan metode
eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan
salah satu variabel.
d. Metode
gabungan eliminasi dan substitusi
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV
dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi:
1) Mengeliminasi
salah satu variabel.
2) Mensubstitusikan
nilai variabel pada langkah 1) ke salah satu persamaan.
4. Penerapan SPLDV dalam kehidupan
sehari-hari
Masalah dalam kehidupan sehari-hari
yang dapat diselesaikan dengan menerapkan SPLDV di antaranya masalah
perhitungan umur dan masalah bisnis. Sedangkan dalam bidang matematika, SPLDV
dapat digunakan untuk menentukan koordinat titik potongan dua garis,menentukan
suatu bilangan, dan sebagainya.
Langkah pertama untuk menyelesaikan
masalah-masalah tersebut adalah dengan menyusun model matematika.
5. System persamaan non-linear dua
variabel
SIstem persamaan nonlinear dua
variabel adalah sIstem persamaan yang mengandung dua variabel, dengan pangkat
dari variabel-nya lebih dari satu.
Langkah-langkah
untuk menyelesaikan sistem persamaan non-liear dua variabel dengan menggunakan
konsep SPLDV adalah:
a) Mengubah
salah satu persamaan menjadikan bentuk y =….. atau x =…..
b) Mensubstitusikan
bentuk tersebut ke persamaan lainnya.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar