Matematika 5B1 : Koset dan Teorema Langange

[Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document. Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document.]

[Type the company name] [Type the company address] [Type the phone number] [Type the fax number]

PENDAHULUAN

Modul ini berisi uraian tentang koset, perkalian koset, himpunan koset dan koset – koset khusus. Untuk memahaminya, anda harus menguasai konsep grup, subgrup, grup simetri, dan subgrupnya, grup siklik dan subgrupnya serta konsep pemetaan bijektif.

Pembahasan ini dimulai dengan pengertian koset, sifat – sifat koset, dan teorema lagrange.

Setelah mempelajari modul ini diharapkan :

1.      Memahami konsep koset kiri, koset kanan, sifat – sifat koset dan dapat menggunakannya dalam grup.

2.      Memahami konsep subgrup normal, grup faktor dan dapat menggunakannya dalam penyelesaian soal.

Sebagai penjabaran tujuan di atas, setelah mempelajari modul ini anda dapat :

1.      Menentukan koset kiri atau koset kanan dari suatu subgrup dalam grup tertentu;

2.      Menentukan teorema yang berkenaan dengan koset – koset suatu subgrup dalam suatu grup tertentu;

3.      Menentukan banyaknya koset – koset yang berbeda dari suatu subgrup dalam grup tertentu;

4.      Menentukan hubungan antara order suatu grup dengan order dari subgrupnya;

5.      Menentukan hubungan antara periode suatu elemen dari grup dan order dari grupnya;

6.      Menentukan elemen – elemen yang kongruen modulo suatu subgrup dari grup tertentu;

7.      Mengidentifikasi apakah subgrup dari suatu grup merupakan subgrup normal atau tidak;

8.      Menentukan syarat –syarat agar suatu subgrup merupakan subgrup normal dari grup tertentu;

9.      Menentukan teorema yang berkenaan dengan subgrup normal;

10.  Menentukan banyaknya elemen darisuatu grup faktor.

DAFTAR ISI

I.                   PENDAHULUAN.......................................................................            1

II.                DAFTAR IS.................................................................................            2

III.             KOSET.........................................................................................            3

a.       SIFAT – SIFAT KOSET....................................................... 4

IV.             TEOREMA LAGRANGE...........................................................            4

V.                 DAFTAR PUSTAKA.................................................................            7

KOSET

Pengertian :

            Jika H suatu subgrup dari grup (G,o) dan a € G maka Ha = {h € H} disebut koset kanan dari H dalam G, sedangkan aH = {a ₀ H|h€H} disebut koset kiri dari H dalam G

Apabila (G,+) merupakan grup dan s subgrup dari G maKa aS = {a+s|s € S}

            dan Sa = {s+a|s € S}

Apabila (G,x) merupakan grup dan s subgrup dari G maKa aS = {as|s € S} dan

            Sa = {sa|s € S}

            Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat. Maka B dengan operasi penjumlahan merupakan suatu grup. H₅ adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5, maka H₅ dengan operasi penjumlahan juga merupakan semua suatu grup. H₅ B, jadi H₅ merupakan subgrup dari B

            Koset kanan dimana H₅ dalam bentuk B untuk 4 € B adalah H₅ 4

B ={...,-2, -1, 0, 1, 2,...}

H₅ = {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}

H₅ 4 = {h+4| h € H₅ }, maka :

H₅ 4 ={..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

           

3 H₅ = {3+h| h € H₅ }, maka :

3 H₅ = {..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}

3 H₅ koset kiri dari H₅ dalam B

SIFAT-SIFAT KOSET

·         Jika s adalah subgrup dari grup G, dan a € S, maka Sa = S

·         Jika G adalah grup dan S adalah subgrup dari G, maka Sa=Sb jika dan hanya jika ab^-1 € S

·         Jika S adalah subgrup dari grup G, maka b € Sa jika dan hanya jika Sa=Sb

·         Jika S adalah subgrup dari G, maka :

            1. G adalah gabungan semua koset kanan Sa, dengan a € G

            2. Untuk setiap a,b € G maka Sa=Sb

Misalkan (G,o) adalah grup dan S merupakan subgrup dari G. Jika i adalah elemen identitas dari G, a € G dan a≠i, maka Sa bukan subgrup dari G

    Jika (G,o) adalah grup dan s merupakan subgrup dari G, maka semua a, b € G berlaku Sa ~ Sb

TEOREMA LAGRANGE

Jika G suatu grup berhingga dan S adalah subgrup dari G maka order dasi S membagi habis order dari G.

            misalkan G adalah suatu grup berhingga dengan order m, dan S merupakan subgrup dari G dengan order k. Jadi G mempunyai tepat m buah anggota berlainan dan S mempunyai tepat k buah anggota berlainan.

Menurut Teorema :

1.      G = a € G

2.     

Karena S berhingga dan  a, b  G berlaku Sa ~ Sb, maka banyaknya anggota Sa = banyaknya angggota Sb demikian pula S ~ Sa.

Jadi, n(Sa) = n(Sb) = n(S) = k

Jika G suatu grup dan S adalah subgrup dari G, maka yang disebut indeks dari S dalam G adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari S dalam G.

in(S)

Jika G suatu grup berhingga, maka in(S) =

Contoh :

T = {1,2,3,4,5,6} dengan operasi perkalian modulo 7  membentuk suatu grup
S = {1,2,4} dan D = {1,6} terhadap operasi perkalian modulo 7 merupakan subgrup.

Koset-koset kanan dari S dalam T adalah S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆ dengan S₁ = S₂ = S₄ = S dan

S₃  = {1.3, 2.3, 4.3} = {3,6,5}

S₅  = {1.5, 2.5, 4.5} = {5,3,6}

S₆  = {1.6, 2.6, 4.6} = {6,5,3}

Maka S₃  = S₅  = S₆

            Jadi banyaknya koset kanan S dalam G ada dua, atau iG(S) = 2. maka didapat bahwa

             n(S) =3 dan n(T) = 6, sehingga:

iT(S) =  

Jika G suatu grup berhingga dan a € G, maka p(a) | n(G), yaitu periode a membagi habis order dari G.

Jika G suatu grup berhingga yang berorder bilangan prima maka G merupakan grup siklik.

Misalkan G suatu grup, dan S merupakan subgrup dari G. Maka a kongruen dengan b modulo S, ditulis a = b (mod S) jika dan hanya jika a.b^-1 € S.

            misalkan G adalah suatu grup semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan S adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3. Maka S adalah subgrup dari G.

            17 = 8 (mod S), sebab 17 + (-8) = 9 € S. Sedangkan 20 = 15 (mod S), sebab 20 + (-5) = 5 €  S

           

Relasi kongruensi modulo S ini membagi G dalam 3 kelas yaitu :

Ō         = [0] = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, ... } = [3] = [6] = [-3] = ...

Ī           = [1] = { ..., -5, -2, 1, 4, 7, ... } = [4] = [7] = [-2] = ...

Ż          = [2] = { ..., -4, -1, 2, 5, 8, ... } = [5] = [8] = [-1] = ...

            koset-koset kanan dari G adalah

            S₀ = { ..., -6+0 ,-3+0 ,0+0 ,3+0 ,6+0, ... }

            S₁ = { ..., -6+1, -3+1, 0+1, 3+1, 6+1, ... }

            S₂ = { ..., -6+2, -3+2, 0+2, 3+2, 6+2, ... }

            S₃ = { ..., -6+3, -3+3, 0+3, 3+3, 6+3, ... } = H₀ = H

S₄ = S₁, S₅, S₂, dan seterusnya.

DAFTAR PUSTAKA

Sukirman, STRUKTUR ALJABAR. Jakarta: Universitas Terbuka, 1996/1997