Matematka 5B2 : Koset dan Teorema Lagrange

KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE

KELOMPOK 5

ANGGOTA :

1.         ASTAQOM KAMAL (10.84.202.155)

2.        DAHLIA GUNIARTI (10.84.202.156)

3.        HADIN AJI SUTANTO (10.84.202.198)

4.       NUR MINDARWATI (10.84.202.176)

5.       SAMSUDIN (10.84.202.180)

6.       SUHUD MAULANA MANSUR (10.84.202.185)

SEMESTER 5 / B2

FKIP MATEMATIKA

2012/2013

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita panjatkan atas kehadirat Allah SWT. Yang telah memberikan karunia serta nikmatnya kepada kita semua .Shalawat serta salam kepada Nabi Muhammad SAW. Serta keluarga dan para sahabat serta pengikutnya.

            Isi makalah ini bertujuan untuk memenuhi tugas  mata kuliah Struktur Aljabar. Dalam makalah ini kami akan membahas mengenai  “Koset dan Teorema Lagrange”.  Harapan saya dengan tersusunnya makalah ini dapat menambah wawasan dan pengetahuan Mahasiswa/Mahasiswi Prodi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Tangerang.

            Kami mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah banyak membantu dalam penyusunan makalah ini khususnya kepada Ibu Yenni, M.pd  selaku Dosen mata kuliah Struktur Aljabar. Kami sadar penyusunan makalah ini masih jauh dari kesempurnaan oleh karena itu Kami mengharapkan kritik dan sarannya.

                                                                                                                                                            Penyusun

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ................................................................................................... v

Daftar Isi ................................................................................................................. vi

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................      1

A.Latar Belakang .................................................................................................. 1

B.Batasan Masalah ................................................................................................ 1

C.Tujuan Penulisan ............................................................................................... 1

D.Metode Penulisan .............................................................................................. 1

BAB II KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE ............................................... 2

1.Pengertian koset ................................................................................................. 2

2.Sifat – Sifat Koset .............................................................................................. 6

3.Teorema Lagrange .............................................................................................. 9

BAB III PENUTUP .............................................................................................. 12

1.Saran .................................................................................................................. 12

2.Kesimpulan ........................................................................................................ 12

 

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang Penelitian

Dalam mata kuliah Struktur Aljabar, ada salah satu materi yang dinamakan Koset dan Teorema Lagrange. Pada semester ini kami akan mencoba menjelaskan materi Koset dan Teorema Lagrange ini guna untuk melengkapi presentasi kami pada materi mata kuliah Struktur Aljabar

B.       Batasan Masalah

1)      Apakah pengertian koset?

2)      Apa saja sifat dari koset?

3)      Apakah pengertian dari teorema lagrange?

C.       Tujuan penulisan

1)      Mengetahui  pengertian koset

2)      Mengetahui sifat dari koset

3)      Mengetahui pengertian teorema lagrange

D.      Metode penulisan

Metode penulisan yang kami gunakan yaitu dengan cara mencari referensi dari berbagai sumber buku dan internet.

BAB II

KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE

A.     PENGERTIAN KOSET

Jika H suatu subgrup dari grup (G;o) dan a ϵ G maka Ha = {h.a | h ϵ H} disebut koset kanan dari H dalam G, sedangkan aH = {a.H | h ϵ H} disebut koset kiri dari H dalam G.

Subgrup dapat dinyatakan dengan H atau S atau huruf yang lain. Dalam contoh berikut H dan S dua-duanya muncul tetapi dalam pembahasan koset selanjutnya akan digunakan S.

Apabila (G, +) merupakan grup, dan S subgrup dari G, maka

aS = {a+ s|s ϵ S} dan Sa = {s + a | s ϵ S}

apabila (G, x) grup dan S subgrup dari G maka

aS = {a x s | s ϵ S} dan Sa = {s x a | s ϵ S}

Secara umum a.s ditulis as dan s.a ditulis sa

Contoh 1. Misalnya G = {...., -2, -1, 0, 1, 2, .... } sedangkan (G, +) merupakan grup.

                  Misalnya S = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, ....}

      Maka     S2 = {..., -4, -1, 2, 5, 8, ....} adalah koset kanan dari s

                               S3 = {..., -3, 0, 3, 6, 9, ....} adalah koset kanan dari s

                               1S = {..., -5, -2, 1, 4, 7, ...} adalah koset kiri dari s.

Contoh 2. Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat. Maka B dengan operasi penjumlahan merupakan suatu grup. H₅ adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan 5. Maka H₅ dengan operasi penjumlahan juga merupakan semua suatu grup. H₅  B, jadi H₅ merupakan subgrup dari B.

Koset kanan di mana H₅ dalam B untuk 4 ϵ B adalah H₅4

B         = { ....., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

H₅        = {....., -10, -5, 0, 5, 10, ...}

H₅4      = {h + 4 | h ϵ H₅  H₅4 = {...., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

3H₅      = {3 + h | h ϵ H₅}  3H₅ = {...., -7, -2, 3, 8, 13, ...}

3H₅ koset kiri dari H₅ dalam B

Contoh 3. Misalnya

            G = {i, a, b, c, d, e } sedangkan (G, o) adalah grup dengan

            i = (1) (2) (3)               c = (2 3)

            a = (1 2 3)                    d = (1 3)

            b = ( 1 3 2 )                 e = (12), dan

o adalah perkalian permutasi

Hasil kali anggota G disajikan dalam tabel berikut ini

o	a	b	c	d	e
i	i	a	b	d	e
a	a	b	i	c	d
b	b	i	a	e	c
c	c	d	e	a	b
d	d	e	c	i	a
e	e	c	d	b	i

Subgrup dari G adalah {i, a, b}, {i, c}, {i, d}, {i, e}

Misalnya S ={i, c}

Koset kanan dari S dalam G adalah

Si ={i, c}                                 Sc ={c, i}

Sa ={ia, ca} = {a, d}              Sd ={id, cd} = {d, a}

Sb = {ib, cb} = {b, e}             Se = {ie, ce} = {e, b}

Koset kiri dari S dalam G adalah

iS= {i, c}                                 cS = {c, i}

aS= {ai, ac} = {a, e}               dS= {di, de} = {d, b}

bS= {bi, bc} = {b, d}             eS= {ei, ec} = {e, a}

Perhatikan lagi definisi koset, misalkan S adalah subgrup dari (G; o).

Misalkan anggota dari S adalah h₁, h₂, h₃, ...., yang semuanya berlainan.

Jika a ϵ G dan a  S, maka anggota dan koset kanan Sa adalah h₁oa, h₂oa, h₃oa, ....., yang semuanya berlainan pula. Sebab jika ada anggota dalam Sa yang sama, yaitu h_i o a = h_j o a dengan sifat ... diperoleh h_i = h_j. Hal ini tidak mungkin karena anggota dari S semuanya berlainan begitu pula anggota dari koset kanan Sa tidak ada yang sama dengan anggota dari S. Sebab andaikan ada yang sama, misalkan h_i o a = h_j o a dengan h_i, h_j ϵ S, yang berarti

h_i^-1o (h_i o a)         =          h_i^-1 o h_j

(h_i^-1o (h_i) o a       =          h_i^-1 o h_j

            (i o a)    =          h_i^-1 o h_j

                a      =          h_i^-1 o h_j

     S suatu subgrup maka S suatu grup. Sehingga, apabila h_j ϵ S maka h_i^-1 ϵ S pula. H_i o h_i^-1 ϵ S ...(h_i o h_i^-1)  S (karena sifat tertutup). Karena a = h_i^-1o h_i maka a ϵ S. Hal ini pun tidak mungkin sebab tadi mengambil a ϵ G dengan a ϵ S.

     Sekarang ambil b ϵ G dengan b = a, dan b ϵ S. Maka anggota dari koset kanan S dalam G adalah b ϵ G, yaitu Sb, adalah h₁ o b, h₂ o b, h₃ o b, ..... Tentu anda dapat menunjukkan bahwa anggota .... dalam Sb ini tidak ada yang sama. Begitu pula anggota dari Sb tidak ada yang sama dengan anggota dari S.

Peryataan ini dapat ditunjukkan melalui contoh 3, yaitu S = {i, c}.

1.      Jika i ϵ S dan c ϵ S maka Si = S dan Sc = S

2.      Jika a  S dan b  S maka Sa  S dan Sb  S.

Untuk memahami sifat – sifat koset, perlu anda perhatikan bahwa (Sa)a^-1 = Si = S dan (Sb)b^-1 = Si = S.

Dalam contoh 3 diketahui bahwa a dan b saling invers, yaitu a^-1 = b dan b^-1 = a

Ambil             Sa = {a, d} dan Sa = {b, e}.

(Sa)a^-1 = (Sa)b = {ab, ad} = {i, c} = S

(Sb)b^-1 = (Sb)a = {ba, ca} = {i, c} = S

B.  SIFAT – SIFAT KOSET

Teorema 7.1    jika S adalah subgrup dari grup G, dan a ϵ S, maka Sa = S

Bukti :             Sa adalah koset kana dari S, yang anggotanya adalah hasil kali anggota S dan a, dari kanan.

            Karena S adalah subgrup yang memenuhi sifat tertutup, dan a ϵ S, maka hasil kali setiap anggota S dengan a merupakan anggota S pula.

                        Jadi Sa  S.

                        Karena a ϵ S maka a^-1 ϵ S. Jadi S = {(Sa^-1) a/s ϵ S}  Sa

                        Jadi Sa = S

Teorema 7.2    Jika G adalah grup dan S adalah subgrup dari G, maka Sa = Sb jika dan hanya jika ab^-1 ϵ S

Bukti :             1. Akan dibuktikan : Sa = Sb  ab^-1 ϵ S

                        Misalkan Sa = Sb

                        Maka   (Sa)b^-1 = (Sb)b^-1

                                    Sab^-1 = Si

                                    Sab^-1 = S . karena i ϵ S, maka ab^-1 = i (ab^-1) ϵ S

                                    Jadi Sa = Sb  ab^-1 ϵ S.

2.   Akan dibuktikan ab-1 ϵ S  Sa = Sb

Misalkan ab-1 ϵ S.

Menurut teorema di atas Sab^-1 = S

Maka           (Sab^-1)b = Sb

                    (Sa)(b^-1b)Sb

                    Sai = Sb

                    Sa = Sb

Jadi ab-1 ϵ S  Sa= Sb

Dari (1) dan (2) di peroleh Sa = Sb  ab^-1 ϵ S.

Teorema 7.3    Jika S adalah subgrup dari grup G, maka b ϵ Sa jika dan hanya jika Sa = Sb.

Bukti :             1. Akan dibuktikan b ϵ Sa  Sa = Sb

                            Dapat dilakukan dengan dua cara.

                        Cara 1.

                        a ϵ Sb  ab^-1 ϵ Sbb^-1 atau ab^-1 ϵ S

                        menurut teorema

                        ab^-1 ϵ S         Sab^-1 = S

                                                Sab^-1b = Sb

                                                Sai = Sb

                                                Sa = Sb

                        Cara 2.

                        Misalnya b ϵ Sa. Maka b = s_j . a untuk suatu s_j ϵ S

                                                b a^-1 = (s_j a ) a^-1

                                                b a^-1 = s_j (a a^-1)

                                                b a^-1 = s_j i

                                                b a-¹ = s_j,

                                                maka b a^-1 ϵ S

                        menurut teorema, jika b a^-1 ϵ S maka Sa = Sb

2.      Akan dibuktikan Sa = Sb  b ϵ Sa.

Cara 1

b ϵ Sa    ba^-1 ϵ Saa^-1

                 ba^-1 ϵ S

menurut teorema  Sba^-1 = S

                             Sba^-1a = Sa

                             Sbi = Sa

                             Sb = Sa

                 Atau    Sa = Sb

Cara 2

b ϵ Sb, sebab S memuat i sehingga ib = b

b ϵ Sb dan Sa = Sb. Maka b ϵ Sa

jadi Sa = Sb  b ϵ Sa

dari (1) dan (2) diperoleh b ϵ Sa  Sa = Sb

C.     TEOREMA LAGRANGE

     Jika G suatu grup berhingga dan S adalah subgrup dari G, maka order dari S membagi habis order dari G (ditulis n (S) | n (G) ).

Bukti :             Misalkan G adalah suatu grup berhingga dengan order m, dan S merupakan subgrup dari G dengan order k. Jadi G mempunyai tepat m buah anggota berlainan dan S mempunyai tepat k buah anggota berlainan.

Buatlah koset kanan dari S dalam G

                                                            Menurut teorema.

1.      G =        Sa

                ^{o ϵ G}                   

2.        a, b ϵ G berlaku Sa  Sb =  atau Sa = Sb

Karena S berhingga dan   a, b ϵ S berlaku Sa  Sb, maka banyaknya anggota Sa = banyaknya anggota Sb. Demikian pula S  Sa.

Jadi n (Sa) =  n (Sb) =  n (S) = k.

Apabila banyaknya koset kanan yang terbentuk  l buah maka m = l.k.

Berarti k faktor dari m atau m habis dibagi oleh k, dan di tulis k | m.

Jadi n (S) | n (G).

Definisi 7.2     Jika G suatu grup dan S adalah subgrup dari G, maka yang disebut indeks dari S dalam G adalah banyaknya koset kanan yang berbeda dari S dalam G, dan ditulis i_G(S). Jika G suatu grup berhingga, maka

 

                        i_G(S) =    

Contoh :

T = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, } dengan operasi perkalian modulo 7 membentuk suatu grup.

S = { 1, 2, 4 } dan D = { 1, 6 } terhadapa operasi perkalian modulo 7 merupakan subgrup dari T

Koset - koset kanan dari S dalam T adalah S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆ dengan S₁ = S₂ = S₄ = S dan

S₃ = { 1.3, 2.3, 4.3 } = { 3, 6, 5 }

S₅ = { 1.5, 2.5, 4.5 } = { 5, 3, 6 }

S₆ = { 1.6, 2.6, 4.6 } = { 6, 5, 3 } . maka S₃ = S₅ = S₆

Jadi banyaknya koset kanan S dalam G ada 2 atau i_G (S) = 2. Nampak bahwa n(S) = 3 dan n (T) = 6, sehingga

 

                        i_T(S) =   

Teorema 7.9     Jika G suatu grup berhingga dan a ϵ G, maka p(a) | n(G), yaitu periode a    membagi habis order dari G.

Bukti :             Misalkan G suatu grup berhingga dengan order atau tingkat m. Maka m(G) = m

                        Ambil a ϵ G

                        Jika a = i maka p(i) = 1, dan 1 membagi habis m. Jadi p(a) | n(G)

                        Jika a  i, buatlah grup siklik generator a.

 Misalkan p(a) = k, maka a^k = i dan misalkan himpunan perpangkatan a adalah S = { a, a², a³, ..., a^k-1, a^k = i}. S adalah suatu grup siklik dengan generator a dan merupakan subgrup dari G. Order S yaitu n(S) = k, sebab semua anggota dari S berlainan.

                        Menurut teorema Lagrange n(S) | n(G) atau k | m. Dengan k = p(a).

                        Jadi p(a) | n(G).

Teorema 7.10  Jika G suatu grup berhingga yang berorder bilangan prima maka G merupakan grup siklik.

Bukti :             Misalkan n(G) = m dengan m suatu bilangan prima. Maka pembagi dari m hanyalah 1 dan m saja. Sehingga G tidak mempunyai subgrup sejati. Ambil a ϵ G dan a  i, maka himpunan perpangkatan a yaitu S = { a, a², a³, .... ,a^w = i } merupakan subgrup dari G. Karena G tidak mempunyai subgrup dan a  i, maka S = G. Karena S suatu grup siklik maka G merupakan grup siklik pula.

BAB III

PENUTUP

1.      Saran

Makalah ini masih memiliki banyak kekurangan maka dari itu saran yang membangun untuk makalah ini sangat diperlukan.

2.      Kesimpulan

a.       Definisi Koset, Jika H suatu subgrup dari grup (G;o) dan a ϵ G maka Ha = {h.a | h ϵ H} disebut koset kanan dari H dalam G, sedangkan aH = {a.H | h ϵ H} disebut koset kiri dari H dalam G.

b.      Terdapat 7 sifat – sifat koset.

c.       Teorema Lagrange. Jika Gsuat grup berhingga dan S adalah sugrup dari G, maka n(S) | n(G), yaiyu order dari S membagi habis order dari G.