An NawaL: Matematika 5A1: Grup

STRUKTUR ALJABAR

KELOMPOK 3

Nama :

Nurbaiti Siva ( 10.84.202.029 )

Siti Mazroatus Sholihah ( 10.84.202.038 )

Sri Lestari ( 10.84.202.042 )

Widya Wijayanti (10.84.202.047 )

Kelas / Smt : A-1 / 5

Prodi : Pendidikan Matematika

Mata Kuliah : Struktur Aljabar

Dosen : Yenni, M. pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH TANGERANG

Jl. Perintis Kemerdakaan 1/33 Cikokol, Tangerang

Tahun 2011 / 2012

A. Definisi Grup

Diketahui G himpunan dan * operasi biner * pada G. Himpunan G disebut grup terhadap operasi * jika dan hanya jika memenuhi keempat aksioma berikut :

1. G bukan merupakan himpunan kosong

2. Untuk setiap a,b,c ∈G berlaku (a ∗b)∗c = a ∗(b∗ c)

3. Terdapat eϵG sehingga untuk setiap aϵG berlaku e∗ a = a ∗e = a

4. Untuk setiap aϵG terdapat a'ϵG sehingga berlaku a ∗ a ' = a '∗ a = e .

Aksioma 2 disebut juga dengan sifat asosiatif. Elemen eϵG pada aksioma 3 disebut juga dengan elemen identitas. Elemen a 'ϵG pada aksioma 4 disebut juga dengan invers elemen a terhadap operasi ∗.

Contoh :

Misalkan G = Ζ x Ζ= {(a,b) a,bϵ Ζ}. Didefinisikan operasi biner ∗ pada G, yaitu untuk setiap (a,b),(c, d )ϵG berlaku (a,b)∗(c, d ) = (a + c,b + d ) . Apakah G merupakan grup terhadap operasi ∗?

Penyelesaian :

Jelas bahwa G bukan merupakan himpunan kosong, karena (1,1)ϵG . Akan ditunjukkan bahwa G memenuhi sifat asosiatif. Untuk sebarang (a,b),(c, d ),(e, f ) ϵ G, dan dengan menggunakan sifat bilangan bulat diperhatikan bahwa:

((a,b) *(c,d))*(e,f) = (a+c, b+d)*(e,f)

= (a+c+e, b+d+f)

= (a,b) *(c+e, d+f)

= (a,b) *((c,d)*(e,f)).

Jadi, terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku.

Jika dipilih elemen (0,0)∈G , maka untuk setiap (a,b)∈G akan berlaku:

(0,0)*(a,b) = (0+a,0+b)

= (a,b)

= (a+0,b+0)

= (a,b)*(0,0).

Jadi, (0,0)∈G merupakan elemen identitas pada G.

Untuk sebarang (a,b)∈G dipilih elemen (−a,−b)∈G , sehingga akan berlaku:

(a,b) *(-a,-b) = (a+(-a),b+(-b))

= (a-a, b-b)

= (0,0)

= ((-a)+a, (-b) + b)

= (-a,-b)* (a,b)

Jadi, setiap elemen (a,b)∈G memiliki elemen invers terhadap operasi ∗ yaitu (−a,−b)∈G . Karena keempat aksioma berlaku maka G merupakan grup terhadap operasi ∗ .

Contoh 2 :

Himpunan Ζ = {0,1,2,3} adalah bukan kelompok Grup. Meskipun 1 dan 3 memiliki invers, unsur-unsur 0 dan 2 tidak. Sehingga {0,1,2,3} bukan grup, buktikan bahwa {0,1,2,3} bukan suatu grup !

Penyelesaian :

1. Jelas bahwa {0,1,2,3} bukan merupakan himpunan kosong, karena {0,1,2,3} ϵΖ. Syarat 1 terpenuhi.

2. Asosiatif

Misal:

1 ( 2 . 3 ) = (1 . 2) 3

6 = 6 à benar asosiatif

Syarat 1 terpenuhi.

3. Identitas

{0, 1, 2, 3} memiliki identitas yaitu 1

Syarat 2 terpenuhi.

4. Invers

{0,1,2,3}

· Invers 0

Misal:0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

0 x 2 = 0 Maka 0 tidak memiliki invers.

0 x 3 = 0

· Invers 1

1 x 1 = 1 maka invers 1 adalah 1

Invers 2

2 x 0 = 0

2 x 1 = 2

2 x 2 = 4 Maka 2 tidak memiliki invers.

2 x 3 = 6

· Invers 3

3 x 1 = 3 maka invers 3 adalah 1

Syarat 3 tidak terpenuhi.

Dengan demikian bahwa Himpunan Ζ = {0,1,2,3} adalah bukan kelompok Grup

B. Sifat – sifat Grup

Dalam sebarang grup berlaku sifat sifat berikut :

1. Hukum kanselasi kiri

2. Hukum kanselasi kanan

3. Anggota identitas itu tunggal yaitu jika e dan e¢ elemen G yang memenuhi hukum identitas maka e = e¢.

4. Invers dari sebarang anggota G akan tunggal yaitu jika a dan b merupakan invers dari x maka a = b.

Keempat pokok diatas akan diuraikan satu persatu yaitu :

1. Hukum kanselasi kiri

Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b,c ∈G . Jika c∗a = c∗b , maka berlaku a = b. Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b ∈G, maka hanya ada tepat satu x∈G yang memenuhi persamaan a ∗ x = b .

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa terdapat x∈G yang memenuhi a ∗ x = b. Akan ditunjukkan bahwa a'∗b merupakan elemen x yang dimaksud, dengan a' merupakan invers elemen a. Diperhatikan bahwa:

a*(a'*b) = (a*a’)*b sifat asosiatif

= e*b definisi a’

= b sifat e.

Jadi, terbukti bahwa hanya ada tepat satu x∈G yang memenuhi persamaan a∗x = b

2. Hukum kanselasi kanan

Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a,b,c ∈G . Jika a∗c = b∗c , maka berlaku a=b.

Bukti.

Misalkan a∗c = b∗c . Menurut aksioma 3 Grup terdapat elemen c' yang merupakan invers elemen c. Diperhatikan bahwa:

(a ∗c)∗c ' = (b∗c)∗c ' .

a ∗(c ∗c ') = b∗(c ∗c ') . Sifat asosiatif

a ∗e = b∗e . Identitas

a = b.

Jadi, terbukti bahwa a,b,c∈G yang memenuhi persamaan a ∗ c=b*c .

Maka berlaku a = b

3. Identitas tunggal

Diketahui (G,∗) merupakan grup dan e∈G merupakan elemen identitas, maka hanya ada tepat satu elemen identitas pada G.

Bukti:

Misalkan ada elemen e,e ∈G , dengan e ∗ a = a ∗ e = a dan e ∗ a = a ∗ e = a untuk setiap a ∈G. Misalkan dipilih a = e , akibatnya berlaku e ∗ e =e ∗ e = e.

Karena e juga merupakan elemen identitas, akibatnya e ∗ e = e , dan dengan kata lain e = e .

Jadi, elemen identitas pada grup G tunggal.

4. Elemen invers

Diketahui (G,∗) merupakan grup dan a∈G. Jika a ' merupakan invers elemen a, maka hanya ada tepat satu elemen a ' pada G.

Bukti:

Misalkan elemen a∈G memiliki dua elemen invers, yaitu a ' dan a '' , sehingga a ∗ a ' = a '∗ a = e dan a ∗ a '' = a ''∗ a = e . Akibatnya a ∗a ' = a ∗ a '' = e .

Dan dengan teorema kanselasi kiri diperoleh a ' = a '' .

Jadi, terbukti bahwa elemen invers tunggal.Definisi order sebuah grup.

Bilangan yang termasuk dari sebuah grup (terhingga/tak terhingga) disebut order.Kita akan menggunakan ǀGǀ untuk melambangkan orde dari G. Jadi, grup Z dari bilangan bulat dengan operasi penjumlahan mempunyai order yang tak terhingga. Sedangkan grup U(10) ={1, 3, 7, 9} dengan operasi perkalian modulo 10 mempunyai 4 order.

C. Definisi order sebuah elemen

Order dari sebuah elemen/unsure grup G merupakan bilangan bulat positif terkecil n seperti

= e (dalam notasi penjumlahan, ini akan menjadi ng = 0). Jika tidak ada bilangan bulat kita akan katakana g merupakan order yang tak terhingga. Order dari sebuah elemen g dilambangkan dengan

Jadi, untuk menemukan order dari sebuah elemen grup g, yang kamu butuhkan hanya menghitung urutan dari hasil g¹,g² ,g³ , ..... Sampai kamu mendapatkan identitas untuk pertama kali. Eksponen dari hasil ini (atau koefisien jika operasinya penjumlahan)adalah order dari g. Jika identitas tidak pernah muncul dalam urutan, maka g mempunyai order yang tidak terbatas.

D. Definisi Subgrup

Jika subset H kelompok G sendiri operasi Inder kelompok G, H kita katakan adalah subkelompok G.

Kami menggunakan notasi H ≤ G berarti H adalah subgrupG. Jika kita ingin menunjukkan bahwa H adalah subgrup dari G, tetapi tidak sama dengan g sendiri, kita menulis H <G. Subgrup seperti ini disebut sub-grup sejati. Subgrup {e} disebut subgrup trivial G. Subgrup yang tidak {e} adalah disebut subgrup trivial dari G.

Perhatikan bahwa Z_n dalam modulo n adalah subgrup dari Z dengan operasi penjumlahan, karena penjumlahan modulo n adalah bukan operasi dari Z.

Contoh:

dengan Z bilangan bulat, terhadap operasi penjumlahan (+) merupakan subgrub.

Bukti:

Ambil sebarang

dan

anggota 2Z, maka berlaku

Jadi

atau bersifat tertutup.

a. Sifat asosiatif tidak perlu dibuktikan karena penjumlahan bilangan bulat selalu bersifat asosiatif.

b. Elemen kesatuan 0 (nol)

c. Elemen invers

Jadi dapat disimpulkan bilangan bulat genap 2Z merupakan subgrup sebab terhadap operasi yang sama dengan Z juga merupakan grup.

Beberapa sifat subgrup yang perlu diperhatikan.

Sifat

Misalkan G grup,

dan

S subgrup jika dan hanya jika

Bukti:

Þ (syarat perlu)

Diketahui S subgrup,

akan dibuktikan :

ambil sebarang

karena S subgrup maka terdapat

, sehingga berlaku

Ü (syarat cukup)

Diketahui

Akan dibuktikan S subgrup yaitu sifat tertutup, terdapat elemen kesatuan, elemen invers, sifat asosiatif tidak perlu dibuktikan karena perkalian biasa bersifat asosiatif.

Akan dibuktikan terdapat elemen kesatuan:

Karena

pasti terdapat