Matematika 5B1 : Grup dan Sifat-sifatnya

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1.      Latar Belakang Masalah

Makalah ini berisi uraian tentang grup dan sub grup. Untuk memahami materi ini anda harus sudah menguasai sifat-sifat operasi biner dan beberapa struktur aljabar sederhana, yaitu grupoida, semigrup, dan monoida.

Pembahasan dalam makalah ini di mulai dengan pengertian grup, sifat – sifat grup, grup abstrak, dan bujur sangkar latin. Pembahasan di lanjutkan dengan subgrup yang meliputi pengertian kompleks, perkalian kompleks, pengertian subgrup dan sifat – sifat subgrup. Setelah mempelajari makalah ini, anda diharapkan dapat :

a)    Memahami struktur aljabar grup dan mampu menggunakan dalam beberapa masalah matematika

b)   Memahami konsep subgrup dan mampu menggunakan dalam grup tertentu

Sebagai penjabaran dari tujuan di atas, setelah mempelajari makalah ini, anda diharapkan dapat :

a)    Membedakan struktur yang merupakan grup dan bukan grup

b)   Menggunakan sifat – sifat grup untuk menyelesaikan soal

c)    Menggunakan tabel Cayley untuk menemukan suatu grup

d)   Menggunakan perkalian kompleks untuk menyelesaikan soal

e)    Menentukan subgrup dari grup tertentu

f)     Menggunakan sifat-sifat subgrup untuk menyelesaikan soal.

BAB 2

PEMBAHASAN

Grup dan sifat-sifatnya

2.1.      Grup dan Sifat – Sifatnya

A.   Definisi 1.1

Suatu grupoida (G,o) dengan oprasi biner o membentuk suatu grup jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut ini :

1.   Oprasi o pada G bersifat asosiatif yaitu untuk setiap a,b,c є G berlaku ( a o b ) o c = a o (b o c)

2.   G terhadap oprasi biner terhadap o memnpunyai elemen identitas, yaitu ada i є G sedemikian sehingga a o i = i o a = a untuk setiap a є G

3.   Setiap elemen G mempunyai invers terhadap oprasi biner o dalam G yaitu untuk setiap aєG ada a^-1 є G sedemikian hingga a o a^‑1 = a­^-1 o a = i, i adalah elemen identitas dari G

B.   Definisi 1.2

Suatu himpunan G yang tidak kosong dengan suatub oprasi biner o membentuk suatu grup jika dan hanya jika memenuhi sifat-sifat berikut :

1.   Tertutup

Untuk setiap a dan b anggota G dapat ditemukan suatu anggota c dalam G sehingga a o b = c (a,b  G) (a o b =c

2.   Asosiatif

( a, b, c . ( a o b ) o c = a o ( b o c )

3.   G memiliki elemen identitas i

( (

4.   Setiap anggota G mempunyai invers

5.   Operasi biner o pada G bersifat komutatif, yaitu setiap a,b  berlaku a o b = b o a, maka grup ( G; o) disebut grup abelian (grup komutatif).

Contoh:

a.    Himpunan dengan operasi penjumlahan

Contoh 1:

(1)  Himpunan bilangan bulat B= {...,-2,-1,0,1,2....} terhadap operasi biner penjumlahan +.

a.    Sifat tertutup dipenuhi yaitu penjumlahan bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat.

b.   Sifat asosiatif dipenuhi yaitu penjumlahan bilangan-bilangan bulat bersifat asosiatif.

c.    B terhadap operasi + mempunyai elemen identitas yaitu 0, sebab untuk setiap a  B maka a + 0 = 0 + a = a.

d.   Setiap anggota B mempunyai invers terhadap operasi +, yaitu setiap a  B ada  = -a  B sehingga a + (-a) = (-a) + a = 0.

Jadi B dengan operasi + merupakan suatu grup dan ditulis (B;+) suatu grup.

e.    Sifat komutatif dipenuhi pula, yaitu untuk setiap a, b  B maka a+b= b+a jadi (B,+) grup komutatif.

b.   Himpunan dengan operasi perkalian.

Contoh 2:

B = {....-2,-1,0,1,2...} dengan oprasi perkalian.

a.    Sifat tertutup dipenuhi yaitu perkalian bilangan bulat meenghasilkan bilangan bulat

b.   Perkalian bilangan bulat memenuhi sifat asosiatif

c.    B mempunyai elemen identitas 1.

Untunk setiap bilangan bulat a berlaku :

a x 1 = 1 x a .

d.   Bilangan bulat tidak mempunyai invers perkalian sebab 2 x  = 1 ,dan  B . jadi (B,x) bukan grup.

c.    Himpunan bilangan tanpa 0 (nol) dengan oprasi perkalian

Contoh 3;

D = { 1,-1} terhadap oprasi perkalian x , oprasi x pada D :

a.  merupakan oprasi biner yang tertutup , mengapa.?

b. D terhadap oprasi perkalian mempunyai elemen identitas yaitu 1

c. setiap elemen D terhadap oprasi perkalian mempunyai invers yaitu 1^-1 = 1 dan (-1)^-1 = -1 . jadi (D, x) suatu grup. Tunjukan bahwa (D,x) suatu grup abelian (komutatif)

2.2.       sifat-sifat sederhana dari grup (G,o)

a.    Setiap , a , b, c, anggota G , berlaku a o b = a o c / b o a = c o a

b.   Persamaan a o x = b dan y o a = b mempunyai penyelesaian tunggal

c.    Elemen identitas dalam grup adalah tunggal

d.   Invers dari setiap anggota G adalah tunggal

e.    Invers dari invers a adalah a dan ditulis (a^-1)^-1 = a

f.     Jika a o b є G , maka ( a o b )^-1 = b^-1 o a^-1

Suatu grup dengan operasi perkalian disebut grup multiklikatif. Suatu grup dengan operasi penjumlahan disebut grup aditif.

Banyaknya anggota dalam grup G disebut orde dari grup G ditulis n(G). Grup yang mempunyai banyak anggota sehingga disebut grup terhingga (grup finite). Grup yang mempunyai anggota tak terhingga disebut grup tak terhingga(infinite).

2.3.      Grup abstrak

G={i,a,b,....} dengan i,a,b.....elemen yang tidak didefinisikan pada objek tertentu dan dilengkapi satu operasi biner * memenuhi sifat grup maka (G,*) disbut grup abstrak. Operasi biner pada grup abstrak didefinisikan dengan cayley

Contoh grup abstrak.

G : { i,a,b,c } dengan operasi biner* dalam tabel

Tabel 1

*	I	a	b	C
i	I	a	b	c
a	a	i	c	b
b	b	c	a	I
C	C	b	i	a

                   (G,*) grup abstrak ordo 4

Pada tabel ini setiap anggota hanya muncul 1 kali pada tiap baris dan tiap kolum dan memenuhi sifat grup.

Sifat sifat grup dapat dilihat dalam tabel dengan cara sebagi berikut:

(1)   Jika dalam kotak semua elemen adalah anggota G maka (G,*) memenuhi sifat tertutup.

(2)  Sifat asosiatif dapat dicoba satu persatu.

(3)  Baris dsn kolom yang urutan anggota sama dengan urutan baris dasn kolom paling luar menunjukan elemen identitas yaitu i.

(4)  Apabila i muncul pada baris dan kolom yang sama berarti anggota tersebut mempunyai invers dirinya sendiri.jadi invers i adalah i dan invers a adalah a. Apabila i muncul pada baris kedua kolom ketiga dan muncul pula pada baris ketiga kolom kedua maka anggota tersebut saling invers. Jadi b^-1  = c dan c1^-1 = b. Apabila tidak demikian berarti anggota tersebut tidak mempunyai invers.

(5)  Kesamaan a x = b mempunyai penyelesaian tunggal apabila setiap baris dalam kotak semua anggota berlainan.

Persamaan y a = b mempunyai penyelesaian tunggal apabila setiap kolom dalam kotak semua anggota berlainan.

(6)  Apabila letak anggota dalam kotak simetris terhadap diagonal utama maka sifat komutatif dipenuhi.

2.4.      Bujur sangkar latin

Pada tabel cayley membentuk bujur Sangkar . apabila anggota dalam tabel muncul tepat satu kali pada setiap baris dan tepat satu kali pada setiap kolom maka tabel tersebut disebut bujur sangkar latin.semua grup berhingga dapat dinyatakan dengan bujur sangkar  latin. Tetapi setiap bujur sangkar latin belum tentu menggambarkan suatu grup.

Contoh

Tabel 2 dan tabel 3

*	I	A	b	c	d
I	I	A	b	c	d
A	A	B	c	d	i
B	B	C	d	i	a
C	C	D	i	a	b
D	D	I	a	b	c

o	i	a	b	c	d
i	i	a	b	c	d
a	a	b	c	d	i
b	b	i	d	a	a
c	c	d	a	i	b
d	d	c	i	b	a

a)    tabel 2 adalah bujur sangkar latin. (G,*) grup

b)   tabel 3 adalah bujur sangkar latin. (G,o) bukan grup

sebab a o d = i tetapi d o a = c

b o a = i tetapi a o b = c

a,b dan d tidak mempunyai invers

2.5.      SUBGRUP

Pengertian kompleks

Himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu grup (G,o) disebut kompleks. Jika H dan K masing-masing himpunan bagian dari G maka HK^def { a o b ӏ єH dan bєK} jika H himpunan bagian gari G maka H^{-1 def} {a^-1 ӏ aєH}. Jika a, b, dan c himpunan bagian dari grup (G,o) atau kompleks maka (AB)C = A(BC)

Bukti :

Menggunakan definisi persamaan dua himpunan

P=Q  ‹=› P  Q dan Q  P

1)   ambil P  (A B) C, berarti P= (a₁b ₁)c₁ dengan a₁   A, b₁   B, dan c₁   C.

a₁ (b₁c₁)  A(B C) dengan a₁   A, b₁  B dan c₁  C.

Karena suatu grup memenuhi sifat asosiatif maka (a₁ b₁)c₁ = a₁ (b₁ c₁) dan (a₁ b₁) c₁   A(B C )

p  ( A B) C  P  A (B C) jadi (A B) C  A (B C)

2)   ambil q  A (B C), berarti q = a₂ (b₂ c₂ ) dengan a₂  A, b₂   B dan c₂  C

(a₂b₂)c₂  (A B) C dengan a₂  A, b₂   B dan c₂  C. Karena suatu grup memenuhi sifat asosiatif maka a₂(b₂c₂) =( a₂b₂)c₂ dan a₂(b₂c₂)  ( A B) C

q  A(B C) => q  (A B) C

Jadi A (B C)  (A B) C

Dari 1) dan 2) diperoleh (AB) C = (B C)

2.6.      Pengertian subgrup

Definisi:

Subgrup N dari grup G disebut subgrup normal dari G, jika untuk setiap x Î G dan untuk setiap n Î N berlaku: x.n.x^-1 Î N.

Teorema-teorema:

·                Subgrup N dari grup G adalah normal jika dan hanya jika x.N.x^-1 = N untuk setiap x Î G.

·                Subgrup N dari grup G adalah normal jika dan hanya jika setiap koset kiri N dalam G juga merupakan koset kanan N dalam G.

·                Irisan 2 subgrup normal dari suatu grup adalah juga subgrup normal.

Buktikanlah.

Contoh:

·                Dalam setiap grup G, subgrup trivial {e} dan G sendiri merupakan subgrup normal. Periksalah.

·                Grup matriks 2x2 bilangan riil dengan determinan = 1, dengan operasi perkalian matriks adalah subgrup normal dari grup matriks 2x2 bilangan riil dengan determinan tak nol, dengan operasi perkalian matriks. Periksalah.

·                Ambil G=grup non-abelian matriks 2x2 non-singular bilangan riil dengan operasi perkalian matriks. Ambil D = himpunan matriks diagonal 2x2 non-singular bilangan riil dengan operasi perkalian matriks (D adalah subgrup dari G). Tunjukkan bahwa D bukan subgrup normal.

·                G=grup matriks non-singular 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks. M=himpunan matriks skalar non-singular 2x2 bilangan riil dengan operasi perkalian matriks (M adalah subgrup dari G). M adalah subgrup normal dari G.

·                Setiap subgrup dari grup abelian adalah normal.

 

DAFTAR PUSTAKA

Ayres , Frank Jr. Theory and problems of modern algebra. New York : McGraw – Hill book Company, 1965

Baumslag, B and Chandler, B. Group theory. New York : McGraw – Hill book Company, 1968

Birkhoff, John B.A first Course in Abstract algebra Addison. Wesley publising company 1974