MAKALAH PERSAMAAN DAN
TIDAK PERSAMAAN LINEAR
DIAJUKAN
KEPADA MATA KULIAH KONSEP DASAR MATEMATIKA
DOSEN : YENNI,
M.Pd
MATA KULIAH : MATEMATIKA
KELAS/SMT : H / 1
NAMA : SRI
RAHAYU PURWATI (1286206327)
AHMAD SYAEPUDIN (12862063283)
ACHMAD YAFI (12862063146)
RISMAUTFI ANGGIFA V. (1286206347)
Jl. Perintis Kemerdekaan I/33 Cikokol
Kota Tangerang 1511
Daftar isi
daftar isi.......................................................................................................................................................................i
Sifat-sifat,Pengertian
persamaan linear dengan satu vaeiabel(PLSV)………....……………………........................1
Penyelesaian
persamaan linear dengan satu varibel(PLSV)…………………………………...................................2
Penerapaan
PLSV dalam kehidupan sehari-hari……………………………………………………….....................3
Pengrtian,penyelesaiaan
pertidaksamaan linear dengan satu variabel……….…………………….........................4
Pemerapan
PTLSV dalam kehidupan sehari=hari……………………………………………………......................5
Pengrtian,sistemdan
bentuk persamaan linear dua variabel………………………………………….......................6
Penyelesaian
persamaan linear dua veriabel……………………………………………………………...................8
Penerapaan
PLDV,sistem non-linear…………………………………………………………….............……….....9
Pengertian,system
pertidaksamaan linear dua varibel…………………………………………………..................10
Daftar
putaka……………………………………………………………..………………………………..............11
i
PERSAMAAN LINEAR SATU
VARIABEL(PLSV)
A.
Menggunakan
Sifat-sifat Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
1. Kalimat
benar dan kalimat salah
Dalam
matematika kita mengenal istilah pernyataan dimana pernyataan adalah satuan
kalimat matematika yang sudah dapat ditentukan nilai kebenaran dan
kesalahannya.
·
Kalimat benar adalah pernyataan yang
sesuai dengan kenyataannya (kebenrannya). Misalkan :
a. 3
+ 4 = 7
b. Matahari
terbit disebalah timur
c. Kucing
berkaki empat
d. 2
adalah bilangan prima
·
Kalimat salah adalah suatu pernyatan
yang tidak sesuai dengan sesuai kenyataannya. Misalkan :
a. Besar
sudut siku=siku adalah 180%
b. 5
- 8 = 10
c. Kambing
adalah hewan yang biasa terbang
d. Matahari
beredar mengelilingi bumi
2. Pengertian
kalimat terbuka
Kalimat
terbuka adalah suata kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau
salahnya.Misalkan :
a. x
+ 2 = 5
b. y
- 3 = 4
c. m
: 4 = 6
d. p
× 7 = 2
B.
Pengrtian
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
Persamaan
adalah suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda dengan (=).Persamaan
linear atau variabel adalah suatu kalimat yang berhubungan dengan tanda sama
dengan (=), dengan satu variabelnya dan variabelnya berpangkat satu. Secara
umum persamaan satu variabel ditulis:
ax + b = 0;atau a ≠ 0
Dengan x sebagai variable (peubah)
dan ; a dan b adalah konstanta
Contoh : persamaan linear satu
variabel
a. 2x
+ 8 = 0
b. 5x
- 4 = 16
c. x
+ 3 = 7
d. 9
– 6 = 5
e.
Berikut ini diberikan
bentuk beberapa persamaan lain yang bukan persamaan linear satu variabel
(bukan
PLSV).Misalkan :
a.
x
+ y = 5 (persamaan dua variabel)
b.
x2
+ 6x = -8 (persamaan kuadrat satu variabel)
c.
p2
+ q2 = 13 (persamaan kuadrat dua variabel)
d.
2x
+ 4y + z = 6 (persamaan tiga varibel)
1
C. Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian Persamaan
Linear Satu Variabel
1)
Pengertian
Penyelesaian dan Himpunan Penyelesaian
Penyelesaian
(akar-akar penyelesaian) adalah penganti dari variabel (peubah) pada kalimat
terbuka sehingga suatu persamaan menjadi kalimat yang benar.
Misalkan
: n + 3 = 10, jika n diganti 7 maka menjadi kalimat benar. Berarti n = 7
disebut penyelesaian atau akar-akar penyelesaian.
Himpunan
penyelesaian(HP)
Adalah
suatu himpunan yang memuat semua penyelesaian tersebut.
Misalkan
:jika a = (1, 2, 3, 4, 5, 6) dan x + 8 = 12 , x € A.
Tentukan:
a.
Penyelesaian
atau akar-akar penyelesaian
b.
Himpunan
penyelesaian
Jawab
:
a.
Penyelesaian
: x + 8 = 12
Untuk
x = 4 → 4 + 8 = 12
Maka
x = 4 adalah penyelesaian atau akar-akar penyelesaiannya
b.
Himpunan
penyelesaian (HP) = (12)
2)
Menyelesaiaan
Persamaan Linear Satu Variabel
a)
Dengan
cara sudstitusi
Artinya
menyelesaikan persamaan dengan cara mengganti variabel dengan bilangan-bilangan
yang telah ditentukan sehingga menjadi kalimat yang benar.
Contoh:
Jika
A = (1, 2, 3, 4, 5) dan x + 2 = 5, x € A
Jawab
:
Dengan
memilih pengganti x, maka diperoleh:
x
+ 2 = 5
jika
x, diganti 3 maka akan menjadi kalimat benar. Jadi, x = 3 adalah penyelesaian
dan jika x diganti dengan 1, 2, 3, 4, 5 menjadi kalimat salah berarti 1, 2, 3, 4,
5 bukan penyelesaian dari persamaan x + 2 = 5.
b)
Dengan
persamaan ekulivalen (setara)
Persamaan
ekulivalen (setara) adalah suatu persamaan-persamaan yang mempunyai
penyelesaian yang sama jika dilakukan operasi tertentu persamaan ekulivalen
notasinya”ó”.
a.
Menambah
atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
b.
Mengalihkan
atau membagi kedua rumus dengangn bilangan yang sama yang bukan nol.
Contoh
:
1.
Persamaan
ekulvalen dengan menambahkan atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang
sama.Tentukan HP dari:
a)
x
+ 12 = 20
b)
x
– 9 = 15
Jawab:
a)
x
+ 12 = 20
ó
x + 12 = 20 – 12
(kedua ruas
dikurangi 12)
ó
x = 8
Jadi,
HP = {8}
b)
x
– 9 = 15
ó x – 9 + 9 = 15 –
9
(kedua ruas
ditambah 9)
ó
x = 24
Jadi, HP ={24)
2
D. Penerapan PLSV Dalam Kehidupan Sehari-hari
Langkah-langkah
untuk menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari yang
berupa soal cerita adalah sebagai berikut :
1.
Buat
model atau sketsa terhadap soal yang berkaitan dengan bangun geometri.
2.
Menerjemahkan
kalimat cerita menjadi kalimat matematika dalam bentuk suatu permasalahan.
3.
Menyelesaikan
persamaan itu.
Contoh
:
1.
Keliling
persegi panjang 64 cm. Jika ukuran panjang dari lebarnya,
Tentukanlah
:
a.
Panjang
dan Lebarnya
b.
Luasnya
Jawab
:
Misalnya,
panjangnya = x cm
L
= ( x -8) cm Maka
lebarnya = (x-8)
a. Keliling
= 2p + 2l
K= 2 (p + l)
64 = 2 (x + x – 8)
64 = 2 (2x – 8)
64 = 4x – 16
64 + 16 = 4x – 16 + 16
80 = 4x
Jadi,
Panjang = x = 20
Lebar = (x – 8)
Lebar = 20 – 8 = 12 cm
b. Luas = p x
l
=
20 x 12
= 240 cm
20 = x
3
PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL(PTLSV)
A. Pengrtian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
(PTLSV)
1.
Pengertian
Ketidaksamaan
Ketidaksamaan
adalah suatu kalimat matematika yang dihubungkan dengan tanda ; >, <, ≥
atau ≤ misal :
a)
2
+ 3 < 8
b)
6
+ 7 > 4 + 5
c)
2
≤ 6 + 8
d)
9
+ 5 ≥ 7 + 3
Untuk
sembarangan bilangan m dan n dengan m ≠ n maka selalu berlaku salah satu
hubungan sebagai berikut :
a)
m
<, n (m “kurang dari” n)
b)
m
>, n (m “lebih dari” n)
c)
m
≤ n ( m ”lebih dari atau dengan” n)
d)
m
≥ n (m ”lebih dari atau sama dengan” n)
Contoh
:
Tulislah
dalam bentuk ketidaksamaan dari :
a. 5 kurang dari 8
Jawab : 5 < 8
b. 4 terletak di
antara 3 dan 5
Jawab : 3 < 4 < 5
c. x tidak kurang
dari 7
jawab : x ≥ 7
d. 2 kurang dari 3
dan 3 kurang dari 4
Jawab : 2 < 3 < 4
2.
Pengertian
Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ( PTLSV )
PTLSV
adalah suatu kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda >, <, ≥, atau ≤
dengan satu variabel dan variabelnya berpangkat satu.
Contoh
:
a.
x
+ 2 > 9
b.
m
– 4 < 3
c.
4p
+ 3 ≥ 2p +7
d.
5n
– 6 ≤ 12
B. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel(PTLSV)
1.
Dengan
substitusi
Contoh
: jika a = {3, 4, 5, 6, 7} dan x + 5 > 10,x € A. tentukan himpunan
penyelesaian dari x !
Jawab:
Ditentukan
, x + 5 > 10 maka
Untuk
x = 3 maka 3 + 5 > 10 (salah)
x
= 4 maka 4 + 5 > 10 (salah)
x
= 5 maka 5 + 5 > 10 (salah)
x
= 6 maka 6 + 5 > 10 (benar)
x
= 7 maka 7 + 5 > 10 (benar)
jadi,
HP ={6, 7}
4
Bentuk
setara dari pertidaksamaan linear satu variabel (PTLSV) adalah
pertidaksamaan-pertidaksamaan linear satu variabel yang mempunyai penyelesaian
yang sama.
Contoh
:
a.
x
+ 6 ≥ 10
b.
2x
– 5 ≥ 3
c.
x
+ 3 ≥
7
d.
x
+ 16 ≥ 12
2.
Menyelesaikan
PTSLV yang setara dengan menambahkan
atau mengurangi dengan bilangan yang
sama. Jika a = (1, 2, 3, 4,……., 10) tentukan HP dari x dengan x € A.
contoh
:
6x
– 2 ≥ 5x + 6
Jawab
:
6x
– 2 ≥ 5x + 6
ó 6x – 2 +2 ≥ 5x
+ 6 + 2(kedua ruas ditambah 2)
ó6x ≥ 5x + 8
ó6x - 5x ≥ 5x –
5x + 8(kedua ruas dikurang 5x)
óx ≥ 8
Jadi
HP :{8, 9, 10)
3.
Menyelesaikan
PTLSV yang
setara dengan menbagi dan mengurangi kedua ruas dengan bilangan
yang sama.Contoh :tentukan HP dari:
3x
– 2 < x + 8 , x € A = (1, 2, 3, 4, 5,6, 7)
Jawab:
ó3x + 2 – 2 <
x + 2 + 8(kedua ruas ditamabh 2)
ó3x < x + 10
ó3x – x < x –
x + 10(kedua ruas dikurang x)
ó2x < 10
ó½ . 2x < ½ . 10 (kedua
ruas dikali ½)
C. Penerapaan PTLSV Dalam Kehidupan Sehari-hari
Contoh :
Suatu persegi
panjang, Lebarnya kurang 5 cm dari Panjangnya. Jika keliling persegi panjang
kurang dari 50 cm. Tentukan ukuran maksimum dari persegi panjang itu dan
beberapa luasnya.
Jawab :
L = (x –
5) cm
|
L
= (x – 5) cm
Kelilingnya
kurang dari 50 cm
2(p
x l) < k Lebar = x – 5
2(x + x – 5) < 50 = 15 – 5
2(2x
– 5) < 50 = 10 cm
P = x 4x – 1 < 50 Luas p x l
4x
< 60 L=15
x 10
x
< 15 L=150
cm2
5
PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL(PLDV)
1. Persaman linaer dua variabel (PLDV)
Persamaan linear
adalah sebuah persamaan
aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian
konstanta dengan variabel
tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat
digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius
Persamaan linear
yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum
aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar
di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.Persamaan dua
variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dengan pangkat
masing-masing variabel sama dengan satu.
Bentuk umum PLDV
adalah:
ax + by + c = 0, dengan a, b
tidak semuanya nol dan a, b, c merupakan bilangan riil.
|
x dan y disebut variabel, a dan b disebut koefisien, dan c disebut konstanta.
Penyelesaian
atau akar PLDV ax + by + c = 0 adalah bilangan-bilangan pengganti x dan y,
sehingga PLDV tersebut bernilai benar.
Misalnya salah satu penyelesaian adalah x = p,maka penyelesaian yang lainnya
adalah y =
.
Dengan demikian, himpunan penyelesaian PLDV ax + by + c = 0 adalah:
{(x, y) | x = p dan y =
; p € R
}
|
2. Sistem dan bentuk persamaan linear dua variabel
(SPLDV)
Sistem persamaan
linear dua variabel adalah satu kesatuan (system) dari dua atau lebih persamaan
dua variabel.
Ø Bentuk Umum
Dimana konstanta
A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan
sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa
konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan,
akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah
persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik
potong, maka titik koordinat –x adalah ketika garis bersilangan dengan
sumbu -x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus –c/a. Bila B ≥
0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat –y adalah ketika
garis bersilangan dengan sumbu –y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus
–c/b.
Bentuk umum
SPLDV adalah:
Dengan : x dan y disebut
variabel/peubah
a, b, m dan n disebut koefisien
c dan p disebut konstanta
6
Ø Bentuk standar
Di mana, a dan b jika
dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk
standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua
bentuk, apabila a dan b adalah nol.
Penyelesaian
atau akar SPLDV
Adalah bilangan
pengganti x dan y yang memenuhi kedua persamaan padaSPLDV itu. Jika hanya
memenuhi salah satu persamaan saja, maka bilangan pengganti tersebut bukan
merupakan akar SPLDV itu.
Misalkan SPLDV :
1)
Jika
, maka SPLDV-nya memiliki satu penyelesaian atau akar tunggal.
2)
Jika
, maka SPLDV-nya memiliki penyelesaian.
3)
Jika
, maka SPLDV-nya memiliki banyak penyelesaian.
Ø Bentuk titik potong gradien
· Sumbu –y
Dimana m
merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah
persilangan dari sumbu –y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0,
yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu
–y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut
merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan x merupakan
koordinat x yang
· Sumbu –x
Dimana m
merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong –x,
dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat
digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m
dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya
dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana
nilai y sudah diberikan.
7
3. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
Menyelesaikan
SPLDV berarti menentukan akar dari SPLDV ini. Beberapa metode yang harus
ditempuh untuk menyelesaikan SPLDV adalah :
a.
Metode
grafik
Langkah-
langkah untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik adalah:
1)
Menggambarkan
grafik himpunan penyelesaian dari masing-masing PLDV.
2)
Menentukan
titik potongan dari grafik-grafik pada langkah 1)
y y
ax + by = c ax + by = c
x x
0 0
mx + ny =
p mx +ny =
p
(akar tunggal) (tidak memiliki
akar)
y
ax
+ by = c
x
0
mx + ny = p
(banyak akar)
b.
Metode
substitusi
Menyelesaikan SPLDV dengan metode
substitusi dilakukan dengan cara menggantikan
satu variabel dari persamaan yang satu dengan variabel dari persamaan yang
lain.
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV
dengan metode substitusi adalah:
1)
Mengubah
salah satu persamaan menjadi bentuk y = ….. atau x =…..
2)
Substitusikan
(masukan ) bentuk tersebut ke persamaan kedua.
c.
Metode
eliminasi
Menyelesaikan SPLDV dengan metode
eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan
salah satu variabel.
d.
Metode
gabungan eliminasi dan substitusi
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV
dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi:
1)
Mengeliminasi
salah satu variabel.
2)
Mensubstitusikan
nilai variabel pada langkah 1) ke salah satu persamaan.
8
4.
Penerapan SPLDV
dalam kehidupan sehari-hari
Masalah dalam kehidupan sehari-hari
yang dapat diselesaikan dengan menerapkan SPLDV di antaranya masalah
perhitungan umur dan masalah bisnis. Sedangkan dalam bidang matematika, SPLDV
dapat digunakan untuk menentukan koordinat titik potongan dua garis,menentukan
suatu bilangan, dan sebagainya.
Langkah pertama untuk menyelesaikan
masalah-masalah tersebut adalah dengan menyusun model matematika.
5.
Sistem persamaan
non-linear dua variable
SIstem persamaan nonlinear dua
variabel adalah sistem persamaan yang mengandung dua variabel, dengan pangkat
dari variabel-nya lebih dari satu.
Langkah-langkah
untuk menyelesaikan sistem persamaan non-liear dua variabel dengan menggunakan
konsep SPLDV adalah:
a) Mengubah salah
satu persamaan menjadikan bentuk y =….. atau x =…..
b)
Mensubstitusikan
bentuk tersebut ke persamaan lainnya.
9
PERTIDAKPERSAMAAN
LINEAR DENGAN DUA VARIABEL(PTLDV)
1.
Pengertian Pertidaksamaan
Linear Dengan Dua Variabel
Persamaan
seperti 2x + y = 5 disebut persamaan linear dengan dua variabel. Apabila tanda
sama dengan ( = ) pada persamaan itu, kita ganti dengan salah satu dari
ketidaksamaan linear dengan dua variabel.
2x + y < 5
2x + y > 5
2x + y ≥ 5
2x + y ≤ 5
Sekarang perhatikan pertidaksamaan
linear dengan dua variabel. Berikut :
x
+ y ≤ 3 dengan x € {0, 1, 2, 3, } dan y bilangan cacah.
Menentukan
himpunan penyelesaian pertidaksamaan itu berarti menentukan pasangan pengganti
x dan y yang mengubah x + y ≤ 3 menjadi kalimat yang benar dengan memilih
pengganti x kemudian menentukan y kita memperoleh pernyataan berikut :
Jika
x = 0, maka 0 + y ≤ 3 sehingga nilai y yang menentukan adalah 0, 1, 2 dan 3.
Jika x = 1, maka 1 + y ≤ 3 sehingga
nilai y yang menentukan adalah 0, 1, 2.
Jika x = 2, maka 2 + y ≤ 3 sehingga
nilai y yang menentukan adalah 0, 1.
Jika x = 3, maka 3 + y ≤ 3 sehingga
nilai y yang menentukan adalah 0
Pengganti x dan y yang mengubah x +
y ≤ 3 menjadi kalimat yang benar bila dinyatakan sebagai pasangan berurutan
yaitu :
(0, 0), (0, 1), (0, 2),(0, 3), (1,0), (1, 1),
(1, 2), (2,0), (2, 1) dan (3, 0)
Jadi himpunan
penyelesaian dari x + y ≤ 3 dengan x € { 0, 1, 2, 3 } dan y bilangan cacah
adalah (0, 0), (0, 1), (0, 2),(0, 3), (1,0), (1, 1), (1, 2), (2,0), (2, 1) dan (3, 0)
Grafik himpunan
penyelesaian diperoleh dengan menggambar pasangan berurutan sehingga koordinat
titik pada bidang koordinat.
y
0
|
|||||
x
§
2.
Sistem
pertidaksamaan linear dengan dua variable
System
pertidaksamaan linear dengan dua variabel adalah suatu system yang terdiri atas
pertidaksamaan linear atau lebih dan setiap peridaksamaan menjadi dua variabel
dengan menentukan irisan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan itu.jika
tidak beririsan, maka himpunan pernyelesaian adalah himpunan kosong.
10
Daftar pustaka
Drs. Suwito
(2002). Rumus Matematika SMP, Gitamedia Pess Surabaya
Russell
Bertrand.1970. Matematiaka untuk SMA1, 2, 3. Jakarta
Drs. Harsono dan
Drs. Agus Wardono.
Matematika SMA, Graha Pustaka Jakarta
Ahmad Zaelani,S.Si.,
Cucun Cunayah,S.Si., Esta Indra Irawan,S,Si., (2006). CV. Yrama Widya
11
Tidak ada komentar:
Posting Komentar